Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polar \rho=\frac{32}{5-3 \cos (\theta)}, escreva suas equações paramétricas e a equação reduzida. Obs.: b^{2} \neq 32, a \neq 5 e c \neq 3 ! Para determinar as equações é preciso lembrar que \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e x=\rho \cos (\theta).

Passo 1

O enunciado dá a elipse com foco na origem e equação polar
\rho=\frac{32}{5-3\cos(\theta)},
e pede (1) a equação reduzida em coordenadas cartesianas e (2) as equações paramétricas.
Vamos usar as relações
\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad x=\rho\cos(\theta), \qquad y=\rho\sin(\theta).

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de \rho=\tfrac{32}{5-3\cos\theta} por 5-3\cos\theta:
\rho\,(5-3\cos\theta)=32.
Substituindo \rho=\sqrt{x^2+y^2} e \rho\cos\theta=x, fica
5\sqrt{x^2+y^2}-3x=32.

Passo 3

Isolamos a raiz e quadramos para eliminar o radical:
5\sqrt{x^2+y^2}=32+3x \quad\Longrightarrow\quad 25(x^2+y^2)=(32+3x)^2.
Expandindo e reunindo termos:
25x^2+25y^2=1024+192x+9x^2 \quad\Longrightarrow\quad 16x^2+25y^2-192x-1024=0.

Passo 4

Fazemos o completamento de quadrado em x:
16\bigl(x^2-12x\bigr)+25y^2=1024 \quad\Longrightarrow\quad 16\bigl((x-6)^2-36\bigr)+25y^2=1024
16(x-6)^2+25y^2=1024+576=1600.
Dividindo tudo por 1600:
\frac{(x-6)^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1.
Esta é a equação reduzida da elipse, com semi-eixos a=10 e b=8, centrada em (6,0).

Passo 5

Para as equações paramétricas, usamos o parâmetro t (ângulo auxiliar) de forma padrão para elipse centrada em (6,0):
x(t)=6+10\cos(t), \qquad y(t)=8\sin(t), \qquad t\in[0,2\pi).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-6)^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1.
Equações paramétricas:
x(t)=6+10\cos(t), \qquad y(t)=8\sin(t), \quad t\in[0,2\pi).

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