Determine a equação geral da circunferência de equação polar \rho=-6 \operatorname{sen}(\theta).

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência em coordenadas polares
\rho = -6\,\operatorname{sen}(\theta)
e pede a sua equação geral em coordenadas cartesianas. O conteúdo é a conversão de equações polares para cartesianas, usando as relações
\rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \operatorname{sen}(\theta) = \frac{y}{\rho}.

Passo 2

Substituímos \rho e \operatorname{sen}(\theta) na equação polar:
\rho = -6\,\operatorname{sen}(\theta) \quad\Longrightarrow\quad \rho = -6\,\frac{y}{\rho}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por \rho para eliminar o denominador:
\rho^2 = -6y.

Passo 4

Como \rho^2 = x^2 + y^2, a equação fica
x^2 + y^2 = -6y \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 + 6y = 0.

Passo 5

Para obter a forma reduzida, completamos o quadrado em y:
x^2 + \bigl(y^2 + 6y + 9\bigr) = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + (y+3)^2 = 3^2.

Passo 6

Da forma x^2+(y+3)^2=9 identificamos centro e raio:
centro \,(0,-3) e raio \,3.

Resposta

x^2 + y^2 + 6y = 0

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