Obtenha a equação reduzida resultante de uma elipse que sofreu uma translação de eixos, forneça seus elementos e esboce o gráfico da equação da forma geral:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a cônica de forma geral
que representa um caso especial de elipse (um círculo). O conteúdo aqui é translação de eixos e completar quadrados para obter a equação reduzida. Vamos agrupar termos em
e
, completar quadrados e identificar o centro e os semieixos.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Substituindo em
obtemos
ou seja
Passo 3
Isolando o termo constante, chega-se à equação reduzida
Dividindo ambos os lados por
para colocar na forma padrão de elipse, temos
Aqui os semieixos são iguais:
o que caracteriza um círculo de raio
.
Passo 4
Agora os elementos da elipse (círculo):
Centro
Centro
Semieixos
Vértices
Excentricidade
logo os focos coincidem com o centro.
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Marque o centro em .
– Desenhe o círculo de raio em torno desse ponto, passando pelos vértices
e
.
– Marque o centro em
– Desenhe o círculo de raio
Resposta
Equação reduzida:
Centro:
.
Semieixos: .
Vértices: e
.
Excentricidade: (círculo).
Gráfico: círculo de raio centrado em
.
Semieixos:
Vértices:
Excentricidade:
Gráfico: círculo de raio