Obtenha a equação reduzida resultante de uma elipse que sofreu uma translação de eixos, forneça seus elementos e esboce o gráfico da equação da forma geral:
x^{2}+y^{2}-2 x+4 y+2=0

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a cônica de forma geral
x^{2}+y^{2}-2x+4y+2=0
que representa um caso especial de elipse (um círculo). O conteúdo aqui é translação de eixos e completar quadrados para obter a equação reduzida. Vamos agrupar termos em x e y, completar quadrados e identificar o centro e os semieixos.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
x^{2}-2x \;=\;(x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}+4y \;=\;(y+2)^{2}-4.
Substituindo em x^{2}+y^{2}-2x+4y+2=0 obtemos
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y+2)^{2}-4 \;+\;2 \;=\;0
ou seja
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}-3=0.

Passo 3

Isolando o termo constante, chega-se à equação reduzida
(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=3.
Dividindo ambos os lados por 3 para colocar na forma padrão de elipse, temos
\frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{3}=1.
Aqui os semieixos são iguais:
a=\sqrt{3}, \quad b=\sqrt{3},
o que caracteriza um círculo de raio \sqrt{3}.

Passo 4

Agora os elementos da elipse (círculo):
Centro
C(1,\,-2).
Semieixos
a=b=\sqrt{3}.
Vértices
\bigl(1\pm\sqrt{3},\,-2\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(1,\,-2\pm\sqrt{3}\bigr).
Excentricidade
e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-1}=0,
logo os focos coincidem com o centro.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Marque o centro em (1,-2).
– Desenhe o círculo de raio \sqrt{3} em torno desse ponto, passando pelos vértices (1\pm\sqrt3,-2) e (1,-2\pm\sqrt3).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-1)^{2}}{3}+\frac{(y+2)^{2}}{3}=1.
Centro: C(1,-2).
Semieixos: a=b=\sqrt{3}.
Vértices: \bigl(1\pm\sqrt{3},-2\bigr) e \bigl(1,-2\pm\sqrt{3}\bigr).
Excentricidade: e=0 (círculo).
Gráfico: círculo de raio \sqrt{3} centrado em (1,-2).

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