Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos y.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse centrada na origem, cujo eixo maior está alinhado ao eixo y. Vamos usar a definição geométrica de elipse: o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante.

Passo 2

Colocamos os focos em (0,c) e (0,-c), de modo que o eixo maior fique sobre o eixo y. Denotamos por 2a a soma constante das distâncias de qualquer ponto (x,y) da elipse aos focos, com a>c>0. Assim,
\sqrt{x^2+(y-c)^2} \;+\;\sqrt{x^2+(y+c)^2} \;=\;2a.

Passo 3

Isolamos uma das raízes e elevamos ao quadrado. Por exemplo,
\sqrt{x^2+(y-c)^2} =2a-\sqrt{x^2+(y+c)^2},
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x^2+(y-c)^2 =4a^2-4a\,\sqrt{x^2+(y+c)^2}+\bigl(x^2+(y+c)^2\bigr).

Passo 4

Cancelamos termos iguais e isolamos de novo a raiz restante:
-4cy =4a^2-4a\,\sqrt{x^2+(y+c)^2}+4cy \;\Longrightarrow\; a\,\sqrt{x^2+(y+c)^2}=a^2+cy.
Elevando outra vez ao quadrado e simplificando, obtemos
x^2+(y+c)^2 = a^2 + 2cy + \frac{c^2y^2}{a^2},
o que leva, após algebra adicional, a
\frac{x^2}{a^2-c^2}+\frac{y^2}{a^2}=1.

Passo 5

Definimos \displaystyle b^2 = a^2 - c^2 (com a>b>0). Assim a forma final da elipse, cujo eixo maior tem comprimento 2a sobre o eixo y e menor 2b sobre o eixo x, fica
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} \;=\;1.

Resposta

\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1,
com a>b>0 e eixo maior paralelo ao eixo y.

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