Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos
.
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse centrada na origem, cujo eixo maior está alinhado ao eixo
. Vamos usar a definição geométrica de elipse: o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante.
Passo 2
Colocamos os focos em
e
, de modo que o eixo maior fique sobre o eixo
. Denotamos por
a soma constante das distâncias de qualquer ponto
da elipse aos focos, com
. Assim,
Passo 3
Isolamos uma das raízes e elevamos ao quadrado. Por exemplo,
logo
Passo 4
Cancelamos termos iguais e isolamos de novo a raiz restante:
Elevando outra vez ao quadrado e simplificando, obtemos
o que leva, após algebra adicional, a
Passo 5
Definimos
(com
). Assim a forma final da elipse, cujo eixo maior tem comprimento
sobre o eixo
e menor
sobre o eixo
, fica
Resposta
com
e eixo maior paralelo ao eixo
.