Resolva a equação diferencial:
y^prime prime(t)-y^prime(t)-6 y(t)=sin (t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

A equação que temos é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo \sin(t). O conteúdo envolve achar a solução geral somando a solução da parte homogênea com uma solução particular, e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada
r^2 - r - 6 = 0
que tem raízes
r = 3 e r = -2
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t

Passo 3

Para a solução particular assumimos
yp(t) = Asin t + Bcos t
Então
yp'(t) = Acos t - Bsin t,
yp''(t) = -Asin t - Bcos t
Substituindo na equação:
(yp'' - yp' - 6yp)(t) = (-Asin t - Bcos t) - (Acos t - Bsin t) - 6(Asin t + Bcos t)
Agrupando em sin t e cos t obtemos o sistema
-7A + B = 1,
- A -7B = 0
Resolvendo isso dá
A = -tfrac750, B = tfrac150

Passo 4

A solução geral fica
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-2t - tfrac750sin t + tfrac150cos t
Agora usamos as condições iniciais:
y(0)=0 implies C1 + C2 + tfrac150 = 0 implies C1 + C2 = -tfrac150,
y'(0)=1 implies 3C1 - 2C2 - tfrac750 = 1 implies 3C1 - 2C2 = tfrac5750
Resolvendo esse sistema achamos
C1 = tfrac1150, C2 = -tfrac625

Resposta

y(t)=tfrac1150e^3t-tfrac625e^-2t-tfrac750sin t+tfrac150cos t.

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