Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
2 y^(3)-y^prime prime-5 y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
2y^(3) - y'' -5y' -2y = 0
O método é clássico: montar a equação característica, encontrar suas raízes e escrever a combinação linear de expoentes.

Passo 2

Associamos o polinômio característico
2r^3 ;-; r^2 ;-;5r ;-;2 ;=;0

Passo 3

Buscamos uma raiz inteira testando divisores de -2: r=pm1,pm2.
  • Para r=2:
2cdot2^3 - 2^2 -5cdot2 -2 =16-4-10-2 =0,
logo r=2 é raiz.

Passo 4

Fatoramos o polinômio por divisão de (r-2). Pelos coeficientes 2,,-1,,-5,,-2 e raiz 2, a divisão sintética dá quociente
2r^2 + 3r + 1,
ou seja
2r^3 - r^2 -5r -2 = (r-2),(2r^2 + 3r + 1)

Passo 5

Resolvemos agora a equação quadrática
2r^2 + 3r + 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
r = -3 pm raiz3^2 - 4cdot2cdot12cdot2 = -3 pm raiz9-84 = -3 pm 14,
isto é,
r = -1 ou r = -tfrac12

Passo 6

Como as três raízes são reais e distintas ( 2, -1 e -tfrac12), a solução geral fica
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + C3 e^-tfracx2,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^2x ;+; C2 e^-x ;+; C3 e^-tfracx2

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