Encontre uma solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
Encontre uma solução geral de cada uma das equações nos Problemas seguintes. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica; depois fatore por divisão.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
O método é clássico: montar a equação característica, encontrar suas raízes e escrever a combinação linear de expoentes.
Passo 2
Associamos o polinômio característico
Passo 3
Buscamos uma raiz inteira testando divisores de
:
.
- Para
:
logo
é raiz.
Passo 4
Fatoramos o polinômio por divisão de
. Pelos coeficientes
e raiz
, a divisão sintética dá quociente
ou seja
Passo 5
Resolvemos agora a equação quadrática
Pela fórmula de Bhaskara,
isto é,
Passo 6
Como as três raízes são reais e distintas (
,
e
), a solução geral fica
com
constantes arbitrárias.