Dada a a equação do cilindro x^2+y^2=4 e 0 <= z <= 2, faça o que se pede:
Calcule os vetores normais sobre o a superfície cilíndrica em questão;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de um cilindro, que é x^2 + y^2 = 4, e ele se estende de z = 0 até z = 2. O que a gente precisa fazer é calcular os vetores normais dessa superfície cilíndrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especialmente o conceito de vetor normal que é perpendicular à superfície em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Imagine que você tem uma superfície, como esse cilindro, e quer saber qual direção é “perpendicular” a ela em cada ponto. Esse é o vetor normal! Ele ajuda a entender como a superfície está orientada no espaço.

Passo 3

Para encontrar o vetor normal da superfície do cilindro, vamos usar o gradiente da função que define o cilindro. A função que representa nosso cilindro é:
F(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4
O gradiente dessa função, denotado por nabla F, nos dá o vetor normal. Então, vamos calcular o gradiente.

Passo 4

Calculando o gradiente de F(x, y, z):
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (2x, 2y, 0)
Então, o vetor normal é (2x, 2y, 0). Mas geralmente, a gente prefere trabalhar com vetores normais unitários, ou seja, vetores com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar esse vetor.

Passo 5

Para normalizar o vetor (2x, 2y, 0), precisamos dividir cada componente pelo módulo do vetor. O módulo é dado por:
| nabla F | = raiz(2x)^2 + (2y)^2 + 0^2 = raiz4x^2 + 4y^2 = raiz4(x^2 + y^2) = raiz4 cdot 4 = raiz16 = 4
Então, o vetor normal unitário é:
( 2x4, 2y4, 04 ) = ( x2, y2, 0 )

Resposta

Os vetores normais unitários sobre a superfície cilíndrica são dados por:
n = ( x2, y2, 0 )

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