Dada a a equação do cilindro
e
, faça o que se pede:
Calcule os vetores normais sobre o a superfície cilíndrica em questão;
Calcule os vetores normais sobre o a superfície cilíndrica em questão;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de um cilindro, que é
, e ele se estende de
até
. O que a gente precisa fazer é calcular os vetores normais dessa superfície cilíndrica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especialmente o conceito de vetor normal que é perpendicular à superfície em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor normal. Imagine que você tem uma superfície, como esse cilindro, e quer saber qual direção é “perpendicular” a ela em cada ponto. Esse é o vetor normal! Ele ajuda a entender como a superfície está orientada no espaço.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal da superfície do cilindro, vamos usar o gradiente da função que define o cilindro. A função que representa nosso cilindro é:
O gradiente dessa função, denotado por
, nos dá o vetor normal. Então, vamos calcular o gradiente.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
Então, o vetor normal é
. Mas geralmente, a gente prefere trabalhar com vetores normais unitários, ou seja, vetores com comprimento 1. Para isso, vamos normalizar esse vetor.
Passo 5
Para normalizar o vetor
, precisamos dividir cada componente pelo módulo do vetor. O módulo é dado por:
Então, o vetor normal unitário é:
Resposta
Os vetores normais unitários sobre a superfície cilíndrica são dados por: