Dada a a equação do cilindro
e
, faça o que se pede:
Informe a equação do plano tangente ao cilindro no ponto
;
Informe a equação do plano tangente ao cilindro no ponto
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de um cilindro dada por
e as restrições
. O conteúdo envolvido aqui é geometria analítica, mais especificamente, a determinação de planos tangentes a superfícies. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente ao cilindro no ponto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a superfície e o ponto de tangência. O cilindro
é uma superfície circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo
entre 0 e 2. O ponto dado
está localizado na superfície do cilindro.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos determinar o vetor normal à superfície no ponto de tangência. Uma maneira de fazer isso é calcular o gradiente da função que define o cilindro. Vamos considerar
.
Passo 4
O gradiente de
, denotado por
, nos dá o vetor normal à superfície. Calculando, temos:
Passo 5
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
no gradiente para obter o vetor normal no ponto de tangência:
Passo 6
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto de tangência.
Passo 7
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente ao cilindro no ponto
é
.