Dada a a equação do cilindro x^2+y^2=4 e 0 <= z <= 2, faça o que se pede:
Informe a equação do plano tangente ao cilindro no ponto (2,0,1);

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de um cilindro dada por e as restrições . O conteúdo envolvido aqui é geometria analítica, mais especificamente, a determinação de planos tangentes a superfícies. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente ao cilindro no ponto .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a superfície e o ponto de tangência. O cilindro é uma superfície circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo entre 0 e 2. O ponto dado está localizado na superfície do cilindro.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos determinar o vetor normal à superfície no ponto de tangência. Uma maneira de fazer isso é calcular o gradiente da função que define o cilindro. Vamos considerar .

Passo 4

O gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 0) , denotado por , nos dá o vetor normal à superfície. Calculando, temos:

Passo 5

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nabla f(2, 0, 1) = (2 cdot 2, 2 cdot 0, 0) = (4, 0, 0) no gradiente para obter o vetor normal no ponto de tangência:

Passo 6

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto de tangência.

Passo 7

Substituindo os valores:
4(x - 2) + 0(y - 0) + 0(z - 1) = 0
Simplificando:
4(x - 2) = 0 Rightarrow x - 2 = 0 Rightarrow x = 2

Resposta

A equação do plano tangente ao cilindro no ponto é .

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