lim x 1 x^3-6 x^2+11 x-6x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando x se aproxima de 1 para a seguinte função:
lim x 1 x^3-6 x^2+11 x-6x^2-1
Aqui, estamos lidando com limites, um tópico de cálculo que ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver, vamos precisar simplificar essa fração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos x = 1 diretamente na expressão:
No numerador:
1^3 - 6 times 1^2 + 11 times 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
No denominador:
1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indefinida 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Primeiro, o denominador x^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Agora, vamos fatorar o numerador x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Procuramos fatores que façam o polinômio igual a zero. Testando x = 1:
1^3 - 6 times 1^2 + 11 times 1 - 6 = 0
Então, (x - 1) é um fator. Usando divisão polinomial ou fatoração, encontramos:
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 4

Agora, substituímos os fatores de volta na fração original:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 1)(x + 1)
Perceba que o (x - 1) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esses termos, desde que x neq 1:
(x - 2)(x - 3)x + 1

Passo 5

Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo x = 1 na nova expressão:
(1 - 2)(1 - 3)1 + 1 = (-1)(-2)2 = 22 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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