lim x -8 2 x+5x+8

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de -8 da função $ \frac{2x + 5}{x + 8} $. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de limites em cálculo, especificamente a avaliação direta de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente $ x = -8 $ na função para ver o que acontece:
x = -8

Passo 3

A substituição direta resultou em uma divisão por zero, o que indica que o limite pode ser infinito ou que o limite não existe. Para entender melhor, precisamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de -8 por valores maiores e menores que -8.

Passo 4

Vamos considerar o que acontece quando $ x $ se aproxima de -8 por valores maiores que -8 (da direita):
  • Se $ x $ está ficando próximo de -8, mas um pouco maior, o denominador $ x + 8 $ fica próximo de 0 positivo.
  • O numerador $ 2x + 5 $ quando $ x $ é próximo de -8, dá aproximadamente $ 2(-8) + 5 = -16 + 5 = -11 $.
Então, a fração fica $ \frac{-11}{número muito pequeno positivo} $, o que tende a $ -\infty $.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando $ x $ se aproxima de -8 por valores menores que -8 (da esquerda):
  • O denominador $ x + 8 $ fica próximo de 0 negativo.
  • O numerador continua sendo aproximadamente -11.
A fração fica $ \frac{-11}{número muito pequeno negativo} $, o que tende a $ +\infty $.

Passo 6

Como os limites quando $ x $ se aproxima de -8 pela direita e pela esquerda resultam em valores infinitos de sinais opostos ( x e -infty), o limite geral não existe.

Resposta

O limite $ \lim _{x \rightarrow-8} \frac{2 x+5}{x+8} $ não existe.

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