Dada a a equação do cilindro x^2+y^2=4 e 0 <= z <= 2, faça o que se pede:
Calcule o volume do cilindro utilizando integrais triplas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de um cilindro: e a altura do cilindro é de . Nosso objetivo aqui é calcular o volume desse cilindro utilizando integrais triplas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cilindro . Essa é a equação de um círculo de raio 2 no plano . Como o cilindro se estende de a , ele tem uma altura de 2 unidades.

Passo 3

Para calcular o volume usando integrais triplas, é mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A equação do cilindro fica simplesmente , já que .

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas para o volume V = integral0^2pi integral0^2 integral0^2 r , dz , dr , dtheta será:
Aqui, é o fator de escala que aparece quando mudamos para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integramos com respeito a integral0^2 dz = 2 :
integral0^2 2r , dr = 2 [ r^22 ]0^2 = 2 ( 42 - 0 ) = 4
  1. Multiplicamos pelo integral0^2pi 4 , dtheta = 4 times 2pi = 8pi e integramos com respeito a :
  1. Finalmente, integramos com respeito a :

Resposta

O volume do cilindro é unidades cúbicas.

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