Dada a a equação do cilindro
e
, faça o que se pede:
Calcule o volume do cilindro utilizando integrais triplas;
Calcule o volume do cilindro utilizando integrais triplas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de um cilindro:
e a altura do cilindro é de
. Nosso objetivo aqui é calcular o volume desse cilindro utilizando integrais triplas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro
. Essa é a equação de um círculo de raio 2 no plano
. Como o cilindro se estende de
a
, ele tem uma altura de 2 unidades.
Passo 3
Para calcular o volume usando integrais triplas, é mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. A equação do cilindro fica simplesmente
, já que
.
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cilíndricas para o volume
será:
Aqui,
é o fator de escala que aparece quando mudamos para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral passo a passo:
- Integramos com respeito a
:
- Multiplicamos pelo
e integramos com respeito a :
- Finalmente, integramos com respeito a
:
Resposta
O volume do cilindro é
unidades cúbicas.