Dado o Campo Vetorial F=x^2 i+y^2 j+4 k, mais as informações acima, faça o que se pede:
Informe nabla times F e nabla cdot F.

Passo 1

O exercício nos dá o campo vetorial F(x,y,z) = x^2,i + y^2,j + 4,k e pede para calcular o rotacional ( nablatimesF) e a divergência ( nablacdotF). Vamos usar definição de derivadas parciais para isso.

Passo 2

Para achar o rotacional usamos a fórmula do determinante de ordem 3:
nabla times F =i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x^2 & y^2 & 4
Agora calculamos cada componente separadamente:
(nablatimesF)x = partialpartial y(4) - partialpartial z(y^2) = 0 - 0 = 0,
(nablatimesF)y = partialpartial z(x^2) - partialpartial x(4) = 0 - 0 = 0,
(nablatimesF)z = partialpartial x(y^2) - partialpartial y(x^2) = 0 - 0 = 0
Portanto o rotacional é o vetor nulo.

Passo 3

Para a divergência usamos a definição como soma das derivadas parciais dos componentes:
nablacdotF = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(4)
Calculando:
partialpartial x(x^2)=2x,partialpartial y(y^2)=2y,partialpartial z(4)=0
Somando, chega-se a nablacdotF = 2x + 2y.

Resposta

nablatimesF = 0, nablacdotF = 2x + 2y

Exercícios relacionados