Dada a a equação do cilindro
e
, faça o que se pede:
Com o uso de coordenadas cilíndricas, esboce no Espaço
a superfície resultante desta transformação, assim como o Jacobiano dessa transformação;
Com o uso de coordenadas cilíndricas, esboce no Espaço
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação de um cilindro
junto com o intervalo para
que vai de 0 até 2. O que precisamos fazer é transformar essa equação para coordenadas cilíndricas, desenhar a superfície resultante nesse sistema de coordenadas e também encontrar o Jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de coordenadas de cartesiano para cilíndrico e usar algumas fórmulas básicas de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos
,
e
, onde:
Isso facilita quando estamos lidando com simetrias circulares, como cilindros.
Passo 3
Agora, vamos transformar a equação do cilindro
para coordenadas cilíndricas. Substituindo
e
:
Simplificando:
E já que
:
Então, em coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro é simplesmente
.
Passo 4
Com a equação
, sabemos que o raio
é constante e igual a 2. O ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a circunferência, e
vai de 0 a 2 conforme dado no enunciado. Então, os parâmetros são:
-
(mas no nosso caso específico, ) -
-
Passo 5
Vamos esboçar a superfície no espaço das coordenadas cilíndricas
. Como
é constante, a superfície é um cilindro circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo
de 0 até 2. Visualmente, imagine um tubo circular vertical com altura 2 unidades.
Passo 6
Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano nos ajuda a relacionar as áreas ou volumes quando mudamos de coordenadas. Na mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas, o Jacobiano
é dado por:
Isso significa que, ao integrar em coordenadas cilíndricas, devemos multiplicar por
para ajustar a medida.
Resposta
A superfície resultante em coordenadas cilíndricas
é um cilindro circular de raio 2, estendido de
até
. O Jacobiano dessa transformação é
.