Dada a a equação do cilindro x^2+y^2=4 e 0 <= z <= 2, faça o que se pede:
Com o uso de coordenadas cilíndricas, esboce no Espaço (r, theta, z) a superfície resultante desta transformação, assim como o Jacobiano dessa transformação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação de um cilindro junto com o intervalo para que vai de 0 até 2. O que precisamos fazer é transformar essa equação para coordenadas cilíndricas, desenhar a superfície resultante nesse sistema de coordenadas e também encontrar o Jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender como funciona a mudança de coordenadas de cartesiano para cilíndrico e usar algumas fórmulas básicas de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos , e , onde:
Isso facilita quando estamos lidando com simetrias circulares, como cilindros.

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação do cilindro (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 4 para coordenadas cilíndricas. Substituindo r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 4 e r^2 = 4 implies r = 2 :
Simplificando:
E já que :
Então, em coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro é simplesmente .

Passo 4

Com a equação , sabemos que o raio é constante e igual a 2. O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a circunferência, e vai de 0 a 2 conforme dado no enunciado. Então, os parâmetros são:
  • (mas no nosso caso específico, )

Passo 5

Vamos esboçar a superfície no espaço das coordenadas cilíndricas . Como é constante, a superfície é um cilindro circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo de 0 até 2. Visualmente, imagine um tubo circular vertical com altura 2 unidades.

Passo 6

Agora, vamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano nos ajuda a relacionar as áreas ou volumes quando mudamos de coordenadas. Na mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas, o Jacobiano J = r é dado por:
Isso significa que, ao integrar em coordenadas cilíndricas, devemos multiplicar por para ajustar a medida.

Resposta

A superfície resultante em coordenadas cilíndricas é um cilindro circular de raio 2, estendido de até . O Jacobiano dessa transformação é .

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