Exercício 3 A temperatura num ponto (x, y) do plano é dada por T(x, y)=x yx^2+y^2.
(b) Em que direção, a partir de (2,1) é máxima a derivada direcional?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de temperatura em um ponto específico . A pergunta é: Em que direção, a partir de , a derivada direcional da temperatura é máxima? Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como ela está relacionada ao gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função partial Tpartial x = y(x^2 + y^2) - xy(2x)(x^2 + y^2)^2 = y(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2 + y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a partial Tpartial y = x(x^2 + y^2) - xy(2y)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 + y^2 - 2y^2)(x^2 + y^2)^2 = x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 e nabla T = ( y(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2, x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 ) .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto partial Tpartial xg|(2,1) = 1(1^2 - 2^2)(2^2 + 1^2)^2 = 1(1 - 4)(4 + 1)^2 = -325 . Substituindo partial Tpartial yg|(2,1) = 2(2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)^2 = 2(4 - 1)(4 + 1)^2 = 625 e nabla T(2,1) = ( -325, 625 ) na expressão do gradiente:
Para a componente em :
Para a componente em :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor , é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário . A direção em que essa derivada é máxima é exatamente a direção do próprio gradiente.
Portanto, para encontrar a direção de máxima derivada direcional a partir de , basta considerar a direção do vetor gradiente .

Resposta

A direção de máxima derivada direcional a partir de é na direção do vetor gradiente , ou seja, na direção do vetor .

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