Exercício 3 A temperatura num ponto do plano é dada por .
(b) Em que direção, a partir de é máxima a derivada direcional?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de temperatura em um ponto específico . A pergunta é: Em que direção, a partir de , a derivada direcional da temperatura é máxima? Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como ela está relacionada ao gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Então, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:
Para a componente em :
Para a componente em :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A derivada direcional de uma função em um ponto, na direção de um vetor , é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário . A direção em que essa derivada é máxima é exatamente a direção do próprio gradiente.
Portanto, para encontrar a direção de máxima derivada direcional a partir de , basta considerar a direção do vetor gradiente .
Resposta
A direção de máxima derivada direcional a partir de é na direção do vetor gradiente , ou seja, na direção do vetor .