Exercício 6 Determine a equação do plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=72 que é paralelo ao plano 2 x+3 y+z=1.

Passo 1

O exercício pede para determinar a equação do plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=tfrac72 que seja paralelo ao plano 2x+3y+z=1. O conteúdo aqui envolve geometria de superfícies, especificamente plano tangente a uma esfera e condição de paralelismo entre planos.

Passo 2

Sabendo que o plano desejado deve ser paralelo a 2x+3y+z=1, seu vetor normal precisa ser proporcional a (2,3,1). Então podemos escrever o plano genérico como
2x+3y+z=D

Passo 3

A esfera dada tem centro em (0,0,0) e raio r=raiztfrac72. Para que esse plano seja tangente à esfera, a distância do centro ao plano tem de ser igual a r. A fórmula da distância do ponto (0,0,0) ao plano 2x+3y+z=D é
dist = |D|raiz2^2+3^2+1^2 = |D|raiz14

Passo 4

Igualando essa distância ao raio, temos
|D|raiz14 = raiztfrac72
Resolvendo para |D|:
|D| = raiz14;raiztfrac72 = raiz14cdottfrac72 = raiz49 = 7

Passo 5

Logo, D=7 ou D=-7. Substituindo de volta na equação geral, obtemos os dois planos tangentes desejados.

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
2x+3y+z=7 e 2x+3y+z=-7.

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