Dado o problema de valor inicial (PVI)
Determine a solução do PVI.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição para equações homogêneas.
Passo 2
Observando a equação, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de mesmo grau. Isso sugere que podemos usar a substituição
, ou seja,
.
Passo 3
Com a substituição
, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:
Passo 5
Isolamos o termo
:
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Passo 6
Reescrevemos a equação para separar as variáveis
e
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 7
Integramos ambos os lados da equação:
Passo 8
Vamos resolver a integral do lado esquerdo dividindo em duas partes:
Integral 1:
Integral 2:
Passo 9
Juntando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Substituímos de volta
:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Quando
e
:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é dada implicitamente por: