Dado o problema de valor inicial (PVI)
d yd x=9 x+yx-y, y(1)=0
Determine a solução do PVI.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela equação diferencial
dydx = 9x + yx - y, y(1) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Observando a equação, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de mesmo grau. Isso sugere que podemos usar a substituição , ou seja, .

Passo 3

Com a substituição dydx = v + x dvdx , calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos v + x dvdx = 9x + v xx - v x na equação original:
9x + v xx - v x = 9 + v1 - v
Simplificando o lado direito da equação:
v + x dvdx = 9 + v1 - v
Então, temos:

Passo 5

Isolamos o termo x dvdx = 9 + v1 - v - v :
9 + v1 - v - v = 9 + v + v^2 - v1 - v = 9 + v^21 - v
Simplificando o lado direito:
x dvdx = 9 + v^21 - v
Portanto:

Passo 6

Reescrevemos a equação para separar as variáveis 1 - v9 + v^2 , dv = 1x , dx e :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 7

Integramos ambos os lados da equação:
integral 1 - v9 + v^2 , dv = integral 1x , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral do lado esquerdo dividindo em duas partes:
integral 19 + v^2 , dv - integral v9 + v^2 , dv
Integral 1:
integral 19 + v^2 , dv = 13 arctan(v3) + C1
Integral 2:
integral v9 + v^2 , dv = 12 ln|9 + v^2| + C2

Passo 9

Juntando as integrais:
13 arctan(v3) - 12 ln|9 + v^2| = ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Substituímos de volta 13 arctan(y3x) - 12 ln(9 + (yx)^2) = ln|x| + C :

Passo 11

Aplicamos a condição inicial 13 arctan(0) - 12 ln(9 + 0) = ln(1) + C para encontrar 0 - 12 ln(9) = 0 + C implies C = -12 ln(9) :
Quando e :
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:
13 arctan(y3x) - 12 ln(9 + (yx)^2) = ln|x| - 12 ln(9)

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