Dada a equação diferencial
d yd x+y=11+e^x, y(0)=1
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o maior intervalo em que a solução da equação diferencial de valor inicial
dydx+y=11+e^x, y(0)=1
existe e é única. O conteúdo envolvido é o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de primeira ordem, e para aplicá-lo vamos precisar verificar a continuidade das funções que aparecem no lado direito quando a EDO é escrita na forma padrão.

Passo 2

Para aplicar o teorema, escrevemos a EDO na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
Aqui identificamos
P(x)=1,
Q(x)=11+e^x
O Teorema de Existência e Unicidade nos diz que, se P(x) e Q(x) são contínuas num intervalo que contém o ponto inicial x=0, então existe uma única solução naquele intervalo.

Passo 3

Agora verificamos a continuidade de P(x) e Q(x):
  • P(x)=1 é uma constante, logo contínua para todo xinR.
  • Q(x)=1/(1+e^x) tem denominador 1+e^x>0 para todo x, logo também é contínua em R.
Como ambas são contínuas em todo R, o maior intervalo onde a solução existe e é única é todo o eixo real.

Resposta

(-infty,infty)

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