Dada a equação diferencial
Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
Temos a equação diferencial linear de 1ª ordem
com a condição inicial
. O conteúdo da matéria é EDO linear, e vamos precisar usar o fator integrante para transformar em uma derivada exata.
Passo 2
Primeiro calculamos o fator integrante
. Como o coeficiente de
é
,
Agora multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
.
Passo 3
Portanto podemos reescrever como
Agora integramos ambos os lados em relação a
. No lado direito usamos a substituição
,
, obtendo
Passo 4
Isolando
vem
Passo 5
Para determinar
usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão:
logo
Substituindo de volta, obtemos a solução do PVI:
Passo 6
Final Answer
Resposta
y(x) = e^{-x}\bigl(\ln(1 + e^x) + 1 - \ln 2\bigr)