Dada a equação diferencial
d yd x+y=11+e^x, y(0)=1
Encontre a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
Temos a equação diferencial linear de 1ª ordem
dydx + y = 11 + e^x,
com a condição inicial y(0)=1. O conteúdo da matéria é EDO linear, e vamos precisar usar o fator integrante para transformar em uma derivada exata.

Passo 2

Primeiro calculamos o fator integrante mu(x). Como o coeficiente de y é P(x)=1,
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Agora multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^x:
e^xdydx + e^x y = e^x1 + e^x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y.

Passo 3

Portanto podemos reescrever como
ddxl(e^x yr) = e^x1 + e^x
Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado direito usamos a substituição u = 1 + e^x, du = e^x dx, obtendo
integral ddxl(e^x yr),dx = integral e^x1 + e^x,dx
e^x y = lnl(1 + e^xr) + C

Passo 4

Isolando y vem
y(x) = e^-xl(ln(1 + e^x) + Cr)

Passo 5

Para determinar C usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y(0)=1 na expressão:
1 = e^0l(ln(1 + e^0) + Cr) = ln(2) + C
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C = 1 - ln(2)
Substituindo de volta, obtemos a solução do PVI:

Passo 6

Final Answer

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(\ln(1 + e^x) + 1 - \ln 2\bigr)

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