Dado o problema de valor inicial
t d yd t+(t+1) y=e^2 t, y(1)=0
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial em t₀=1, ou seja, vamos usar o critério de existência e unicidade para ODEs lineares. Precisamos escrever a equação na forma padrão dy/dt + P(t)y = g(t) e verificar onde P(t) e g(t) são contínuas.

Passo 2

Dividindo a equação original por t (assumindo t≠0) obtemos a forma normal. A equação
dydt + t+1t,y = e^2tt
Aqui identificamos
P(t)=t+1t, g(t)=e^2tt

Passo 3

Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares, basta P(t) e g(t) serem contínuas no intervalo que contenha t₀=1. Note que P(t) e g(t) têm singularidade em t=0, mas são contínuas para todo t≠0.

Passo 4

Como a condição inicial está em t=1>0, o maior intervalo que não cruza a singularidade e contém t₀ é (0,∞).

Resposta

O maior intervalo de existência e unicidade é (0,infty).

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