Dado o problema de valor inicial
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial em t₀=1, ou seja, vamos usar o critério de existência e unicidade para ODEs lineares. Precisamos escrever a equação na forma padrão dy/dt + P(t)y = g(t) e verificar onde P(t) e g(t) são contínuas.
Passo 2
Dividindo a equação original por t (assumindo t≠0) obtemos a forma normal. A equação
Aqui identificamos
Passo 3
Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares, basta P(t) e g(t) serem contínuas no intervalo que contenha t₀=1. Note que P(t) e g(t) têm singularidade em t=0, mas são contínuas para todo t≠0.
Passo 4
Como a condição inicial está em t=1>0, o maior intervalo que não cruza a singularidade e contém t₀ é (0,∞).
Resposta
O maior intervalo de existência e unicidade é
.