Inicialmente, haviam 100 miligramas de uma substância radioativa. Após 6 h , a massa decresceu 3 \%. Supondo que a taxa de decaimento \frac{d m}{d t} é proporcional à quantidade de substância m no instante t :
(a) Apresente e resolva a EDO que descreve o problema. \mathrm{R}: \frac{d m}{d t}=k m
(b) Determine a quantidade de substância radioativa remanescente após 24 \mathrm{~h} . \quad \mathrm{R}: m(6) \simeq 88,53 \mathrm{mg}
(c) Determine a meia-vida (tempo necessário para que a massa inicial se reduza à metada) desta substância radioativa. R: t \simeq 136,54 h

Passo 1

O enunciado dá uma substância com massa inicial m(0)=100 mg que decai segundo
\frac{dm}{dt}=k\,m
e informa que após 6 h a massa fica 3 % menor, i.e.\ m(6)=100\cdot(1-0,03)=97 mg.
Vamos (a) resolver a EDO, (b) calcular m(24) e (c) achar a meia-vida t_{1/2}.

Passo 2

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dm}{m}=k\,dt
\ln|m|=k\,t+C\quad\Longrightarrow\quad m(t)=C_1e^{k\,t}.
Usando m(0)=100 C_1=100. Como m(6)=97,
97=100e^{6k}\quad\Longrightarrow\quad e^{6k}=0,97 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{6}\ln(0,97)\approx-0,0050765\,.

Passo 3

A solução geral é
m(t)=100\,e^{k\,t}\quad\text{com }k\approx-0,0050765.
Para t=24:
m(24)=100\,e^{24\,k} =100\,e^{24\cdot(-0,0050765)} \approx100\cdot0,8853577 \approx88,54\text{ mg}.

Passo 4

Definimos a meia-vida t_{1/2} por m(t_{1/2})=50. Então
50=100\,e^{k\,t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{k\,t_{1/2}}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad k\,t_{1/2}=\ln\tfrac12=-\ln2
t_{1/2}=-\frac{\ln2}{k} \approx-\frac{0,693147}{-0,0050765} \approx136,57\text{ h}.

Resposta

(a) A EDO é \tfrac{dm}{dt}=k\,m e sua solução, com m(0)=100 e m(6)=97, é
m(t)=100\,e^{k\,t},\quad k=\tfrac{1}{6}\ln(0,97)\approx-0,0050765.
(b) m(24)\approx88,54 mg.
(c) Meia-vida t_{1/2}\approx136,57 h.

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