com condições iniciais y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 e y^{\prime \prime}(0)=2.
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 3. É linear pois pode ser escrita na forma y^{(3)}+p_{2}(x) y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Encontre a solução do problema usando a transformada e a transformada inversa de Laplace. R: y(x)=2 e^{2 x}-5 e^{x}-e^{-x}+4
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{(3)}-y^{\prime}=12 e^{2 x}
com condições iniciais \,y(0)=0,\;y^{\prime}(0)=0,\;y^{\prime\prime}(0)=2.
Perguntas:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade.
(b) Resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace.
Aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} à equação \,y^{(3)}-y'=12e^{2x}. Usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=2, obtemos:
Verificação rápida (para ganhar confiança): \,y(0)=4-5-1+2=0 OK; \,y'(x)=-5e^{x}+e^{-x}+4e^{2x} então y'(0)=-5+1+4=0 OK; \,y''(x)=-5e^{x}-e^{-x}+8e^{2x} então y''(0)=-5-1+8=2 OK. Assim a solução satisfaz as condições iniciais.
Resposta
(a) Ordem 3. É linear.
(b) y(x)=2e^{2x}-5e^{x}-e^{-x}+4