Dada a equação diferencial
y^{(3)}-y^{\prime}=12 e^{2 x}
com condições iniciais y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 e y^{\prime \prime}(0)=2.
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 3. É linear pois pode ser escrita na forma y^{(3)}+p_{2}(x) y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Encontre a solução do problema usando a transformada e a transformada inversa de Laplace. R: y(x)=2 e^{2 x}-5 e^{x}-e^{-x}+4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(3)}-y^{\prime}=12 e^{2 x}
com condições iniciais \,y(0)=0,\;y^{\prime}(0)=0,\;y^{\prime\prime}(0)=2.
Perguntas:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade.
(b) Resolver o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace.
Dados importantes:
\begin{aligned} &\text{EDO: }y^{(3)}-y'=12e^{2x},\\\ &y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=2. \end{aligned}

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. Para uma função y(x) definida em [0,\infty), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{y(x)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}y(x)\,dx.
Propriedades importantes (que derivam da integração por partes) para derivadas são:
\mathcal{L}\{y'(x)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(x)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(x)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0).
Aqui Y(s) é a transformada de y(x) e y(0),y'(0),y''(0) são os valores iniciais que aparecem nas fórmulas.
Também lembramos da transformada de uma exponencial:
\mathcal{L}\{e^{a x}\}=\frac{1}{s-a}\qquad(\Re(s)>a).

Passo 3

Aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} à equação \,y^{(3)}-y'=12e^{2x}. Usando as fórmulas do passo anterior e as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=2, obtemos:
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}-\mathcal{L}\{y'\}=12\mathcal{L}\{e^{2x}\}.
Substituindo:
\big(s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s y'(0)-y''(0)\big)-\big(sY(s)-y(0)\big)=12\cdot\frac{1}{s-2}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0 e y''(0)=2, isso vira
s^{3}Y(s)-2 - sY(s)=\frac{12}{s-2}.
Agrupando Y(s):
\big(s^{3}-s\big)Y(s)=\frac{12}{s-2}+2.
Note que s^{3}-s=s(s^{2}-1)=s(s-1)(s+1). Assim
Y(s)=\frac{\dfrac{12}{s-2}+2}{s(s-1)(s+1)}.

Passo 4

Separei Y(s) em duas frações mais simples:
Y(s)=\frac{12}{(s-2)\,s(s-1)(s+1)}+\frac{2}{s(s-1)(s+1)}.
A ideia agora é decompor cada uma em frações parciais do tipo \dfrac{\text{const}}{s-a} para conseguir aplicar a transformada inversa facilmente.

Passo 5

Decomposição da primeira parcela
\frac{12}{(s-2)s(s-1)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s-2}.
Multiplicando por (s-2)s(s-1)(s+1) e avaliando em polos simples (método do cover-up / substituição) obtemos:
  • Para s=0: 12 = A\cdot(-2)(-1)(1)=2A \Rightarrow A=6.
  • Para s=1: 12 = B\cdot1\cdot(-1)\cdot2 = -2B \Rightarrow B=-6.
  • Para s=-1: 12 = C\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot(-2) = -6C \Rightarrow C=-2.
  • Para s=2: 12 = D\cdot2\cdot1\cdot3 = 6D \Rightarrow D=2.
Logo
\frac{12}{(s-2)s(s-1)(s+1)}=\frac{6}{s}-\frac{6}{s-1}-\frac{2}{s+1}+\frac{2}{s-2}.

Passo 6

Decomposição da segunda parcela
\frac{2}{s(s-1)(s+1)}=\frac{P}{s}+\frac{Q}{s-1}+\frac{R}{s+1}.
Avaliando nos polos:
  • Para s=0: 2 = P\cdot(-1)(1) = -P \Rightarrow P=-2.
  • Para s=1: 2 = Q\cdot1\cdot2 = 2Q \Rightarrow Q=1.
  • Para s=-1: 2 = R\cdot(-1)\cdot(-2)=2R \Rightarrow R=1.
Portanto
\frac{2}{s(s-1)(s+1)}=-\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}.

Passo 7

Somando as duas decomposições (Passo 5 + Passo 6) obtemos Y(s) em forma simples:
\begin{aligned} Y(s)&=\Big(\frac{6}{s}-\frac{6}{s-1}-\frac{2}{s+1}+\frac{2}{s-2}\Big) +\Big(-\frac{2}{s}+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s+1}\Big)\\[4pt] &=\frac{4}{s}-\frac{5}{s-1}-\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s-2}. \end{aligned}]

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Recordando:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-2}\right\}=e^{2x}.
Aplicando isso a cada termo de Y(s):
y(x)=\frac{4}{s}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}4,\quad -\frac{5}{s-1}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}-5e^{x},\quad -\frac{1}{s+1}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}-e^{-x},\quad \frac{2}{s-2}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}2e^{2x}.
Somando os termos:
y(x)=4-5e^{x}-e^{-x}+2e^{2x}.

Passo 9

Verificação rápida (para ganhar confiança):
\,y(0)=4-5-1+2=0 OK;
\,y'(x)=-5e^{x}+e^{-x}+4e^{2x} então y'(0)=-5+1+4=0 OK;
\,y''(x)=-5e^{x}-e^{-x}+8e^{2x} então y''(0)=-5-1+8=2 OK. Assim a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

(a) Ordem 3. É linear.
(b) y(x)=2e^{2x}-5e^{x}-e^{-x}+4

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