Encontre a transformada de Laplace inversa da função F(s)=\frac{13 s-26}{s^{3}+4 s^{2}+13 s}. R: \frac{17}{3} e^{-2 t} \sin (3 t)+2 e^{-2 t} \cos (3 t)-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=\frac{13 s-26}{s^{3}+4 s^{2}+13 s}.
Informações dadas e objetivo claros:
  • A função racional em s é \displaystyle F(s)=\frac{13 s-26}{s^{3}+4 s^{2}+13 s}.
  • A tarefa é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, encontrar a função do tempo cujo transformada de Laplace é F(s).
  • O enunciado já sugere uma resposta esperada: \displaystyle \frac{17}{3} e^{-2 t} \sin (3 t)+2 e^{-2 t} \cos (3 t)-2 (vamos confirmar e justificar passo a passo).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para ver a estrutura da fração. Observamos
s^{3}+4 s^{2}+13 s = s\bigl(s^{2}+4s+13\bigr).
Note que s^{2}+4s+13 é um quadrático com discriminante negativo, então corresponde a pólos complexos conjugados. Vamos decompor F(s) em frações parciais no formato
\frac{13 s-26}{s\bigl(s^{2}+4s+13\bigr)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs+C}{s^{2}+4s+13},
onde A,B,C são constantes reais que vamos determinar. Esse formato é padrão: termo \frac{A}{s} para o fator linear s e \frac{Bs+C}{\text{quadrático}}á para o quadrático irreduzível.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados pela quantidade s\bigl(s^{2}+4s+13\bigr)\) para obter uma identidade polinomial: \[13 s-26 = A\bigl(s^{2}+4s+13\bigr) + (Bs+C)s.
Agora expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de s. Primeiro expandindo:
A\bigl(s^{2}+4s+13\bigr) + (Bs+C)s = A s^{2} + 4A s + 13A + B s^{2} + C s.
Agrupando:
(A+B)s^{2} + (4A+C)s + 13A.
Na esquerda temos 13 s - 26, que equivale a 0\cdot s^{2} + 13 s + (-26). Igualando coeficientes por potências de s obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 4A + C = 13,\\[4pt] 13A = -26. \end{cases}
Da terceira equação 13A=-26\] vem \(A=-2. Substituindo na primeira A+B=0 B=-A=2. Substituindo A=-2 na segunda 4A+C=13 4(-2)+C=13, logo C=13+8=21.
Portanto A=-2, B=2, C=21.]

Passo 4

Substituindo os coeficientes encontrados na decomposição parcial obtemos
F(s) = \frac{-2}{s} + \frac{2s+21}{s^{2}+4s+13}.
Para trabalhar bem o segundo termo, completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+13 = (s+2)^{2}+9,
pois (s+2)^{2}=s^{2}+4s+4 e 4+9=13. Agora reescrevemos o numerador 2s+21 em termos de (s+2):
2s+21 = 2(s+2) + 17,
já que 2(s+2)=2s+4 e restam 17. Assim
\frac{2s+21}{s^{2}+4s+13} = \frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+3^{2}} + \frac{17}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Logo
F(s) = \frac{-2}{s} + \frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+3^{2}} + \frac{17}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 5

Agora é hora de usar as transformadas de Laplace conhecidas (aqui explico direitinho cada fórmula, para você poder usar na prova sem medo):
  • A transformada inversa de \displaystyle \frac{1}{s} é a função constante 1, ou seja
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1.
Se tiver um multiplicador constante, ele sai: \mathcal{L}^{-1}\{k/s\} = k.
  • Para termos deslocados no eixo s: se \displaystyle a e b são constantes com b>0,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\} = e^{-a t}\sin(bt).
Aqui a aparece na parte real do polo (gera o fator exponencial e^{-a t}) e b é a frequência do seno/cosseno. Essas fórmulas vêm diretamente das transformadas básicas \mathcal{L}\{e^{-at}\cos bt\}=(s+a)/((s+a)^2+b^2) e \mathcal{L}\{e^{-at}\sin bt\}=b/((s+a)^2+b^2).
Aplicando às parcelas que temos:
  • Para \displaystyle \frac{-2}{s} a inversa é -2.
  • Para \displaystyle \frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}+3^{2}} usamos a primeira fórmula com a=2 e b=3. A transformada inversa é 2 e^{-2 t}\cos(3t).
  • Para \displaystyle \frac{17}{(s+2)^{2}+3^{2}} observe que o numerador ideal para a fórmula do seno é b=3. Escrevemos 17 = \frac{17}{3}\cdot 3, então
\frac{17}{(s+2)^{2}+3^{2}} = \frac{17}{3}\cdot\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}},
e a inversa de \displaystyle \frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}} é e^{-2 t}\sin(3t). Logo a inversa desta parcela é \displaystyle \frac{17}{3} e^{-2 t}\sin(3t).

Passo 6

Somando todas as três inversas termo a termo, obtemos a função no tempo:
f(t) = \frac{17}{3} e^{-2 t}\sin(3t) + 2 e^{-2 t}\cos(3t) - 2.
Comentários pedagógicos rápidos: a técnica chave foi a decomposição em frações parciais com completo do quadrado para reconhecer as formas (s+a)/( (s+a)^2 + b^2) e b/( (s+a)^2 + b^2). Na prova, sempre que o denominador é um produto de s por um quadrático com discriminante negativa, esse é o caminho mais rápido e seguro.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{3} e^{-2 t} \sin (3 t)+2 e^{-2 t} \cos (3 t)-2

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