Dada a equação diferencial: y^prime prime(T)+y^prime(T)-54 y(T)=2 cdot uT(T) com y(0)=0 e y^prime(0)=0
Via Transformada de Laplace, determine a solução y(T) do PVI.

Passo 1

Neste exercício temos o PVI y''(T)+y'(T)-tfrac54,y(T)=2,u(T) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo é Transformada de Laplace, e vamos usar as propriedades da transformada de derivadas, isto é Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), e Lu(T)=1/s.

Passo 2

Aplicamos L em ambos os lados da equação. Como Y(s)= Ly(T), temos
s^2Y(s)+sY(s)-tfrac54Y(s)=2cdot1s

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=2sl(s^2+s-tfrac54r)

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais:
2s(s-r1)(s-r2)=As+Bs-r1+Cs-r2, onde r1,2=-1pmraiz62. Calculando os coeficientes, encontra-se
A=-tfrac85, B=4(raiz6+1)5raiz6, C=4(raiz6-1)5raiz6
Por fim, aplicamos a transformada inversa termo a termo: os termos 1/s, 1/(s-r1) e 1/(s-r2) viram constantes ou exponenciais. Assim chegamos a

Resposta

y(T)=4(raiz6+1)5raiz6e^tfrac-1+raiz62T+4(raiz6-1)5raiz6e^tfrac-1-raiz62T-85.

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