Resolver o P.V.I.s abaixo:
Passo 1
Temos o P.V.I.:
É um E.D. apresentada em forma diferencial; vamos usar substituição para tornar a equação separável.
Passo 2
Começamos escrevendo a equação como
:
Isso sugere a substituição
, pois aparece
.
Passo 3
Definindo
temos
. Diferenciando em relação a
:
Substituindo em
dá:
Passo 4
Reorganizando para separar variáveis:
Logo
Passo 5
Integramos ambos os lados. No lado de
, fatoramos
e obtemos
no lado de
y
Igualando e absorvendo constantes:
Passo 6
Voltando a
u=tfracxy , temos
raizu=raiztfracxy . Portanto
e a solução implícita é
Passo 7
Aplicando a condição inicial
y(2)=8 :
logo
C=-12 . A solução implícita final é
Passo 8
Para obter
y em função de
x , isolamos e elevamos ao quadrado:
Resolvendo-se a equação quadrática em
y e escolhendo a ramo que satisfaz a condição inicial, chegamos a
Resposta
y(x)=\frac{x+48+\sqrt{x(x+96)}}{8}