Resolver o P.V.I.s abaixo:
ly d x-(4 raizx y-x) d y=0 y(2)=8

Passo 1

Temos o P.V.I.:
y,dx-l(4raizxy-xr),dy=0, y(2)=8
É um E.D. apresentada em forma diferencial; vamos usar substituição para tornar a equação separável.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação como dx/dy:
dxdy=4raizxy-xy
Isso sugere a substituição u=xy, pois aparece raizxy.

Passo 3

Definindo u=tfracxy temos x=uy. Diferenciando em relação a y:
dxdy=u+ydudy
Substituindo em dx/dy=4raizx/y-x/y dá:
u+ydudy=4raizu-u

Passo 4

Reorganizando para separar variáveis:
ydudy=4raizu-2u
Logo
du4raizu-2u=dyy

Passo 5

Integramos ambos os lados. No lado de u, fatoramos 4raizu-2u=2raizu(2-raizu) e obtemos
integraldu4raizu-2u=-lnl|raizu-2r|+C1,
no lado de y
integraldyy=ln|y|+C2
Igualando e absorvendo constantes:
-lnl|raizu-2r|=ln|y|+C

Passo 6

Voltando a u=tfracxy, temos raizu=raiztfracxy. Portanto
lnl|y(raizx/y-2)r|=C
e a solução implícita é
raizxy-2y=C

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(2)=8:
raiz2cdot8-2cdot8=4-16=-12
logo C=-12. A solução implícita final é
raizxy-2y=-12

Passo 8

Para obter y em função de x, isolamos e elevamos ao quadrado:
raizxy=2y-12Longrightarrow xy=(2y-12)^2
Resolvendo-se a equação quadrática em y e escolhendo a ramo que satisfaz a condição inicial, chegamos a
y(x)=x+48+raizx(x+96)8

Resposta

y(x)=\frac{x+48+\sqrt{x(x+96)}}{8}

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