Resolver as E.D.O.s abaixo:
(y^4+2 y) d x+(x y^3+2 y^4-4 x) d y=0

Passo 1

Temos a EDO$ (y^4+2y),dx + (x y3+2y4-4x),dy=0$. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar se já é exata e, se não, achar um fator integrante.

Passo 2

Chamando M(x,y)=y^4+2y e N(x,y)=x y^3+2y^4-4x, calculamos
4y^3+2neq y^3-4

Como , a EDO não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de y. Usamos a condição
y
que é função só de . Logo

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(y)=y^-3, obtemos a nova equação


que satisfaz

logo é exata.

Passo 5

Procuramos psi(x,y) tal que
x
Integrando em y:
N^*
Diferenciando em e igualando a :

Resposta

xy + 2x y^{-2} + y^2 = C

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