Dada a equação diferencial
y^prime prime(t)+y^prime(t)-54 y(t)=1-upi(t)
com y(0)=0 e y^prime(0)=0.
[2,0] Determine a solução y(t) do P.V.I.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o P.V.I. y''(t)+y'(t)-tfrac54,y(t)=1-upi(t) com y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem com forçamento descontínuo (função degrau de Heaviside). Vamos precisar: 1) achar a solução geral homogênea; 2) achar uma particular para o forçamento constante; 3) montar a solução para 0<= t; 4) aplicar as condições iniciais; 5) para t>=pi resolver apenas a homogênea com condições de continuidade em t=pi.

Passo 2

A equação característica da homogênea y''+y'-tfrac54y=0 é
r^2+r-tfrac54=0,
cuja raiz é
r1,2=-1pmraiz1+52=-1pmraiz62

Passo 3

Como o forçamento para t é 1-upi(t)=1, procuramos uma particular constante yp=A. Substituindo,
0+0-tfrac54A=1implies A=-tfrac45

Passo 4

Assim, para 0<= t a solução geral é
y1(t)=C1e^r1t+C2e^r2t-tfrac45

Passo 5

Derivando e aplicando y(0)=0, y'(0)=0 obtemos o sistema
C1+C2-tfrac45=0,C1r1+C2r2=0

Passo 6

Resolvendo,
[C_1=\frac{2(\sqrt6+1)}{5\sqrt6},\qquad C_2=\frac{2(\sqrt6-1)}{5\sqrt6}.

Passo 7

Para t>=pi o forçamento é nulo ( 1-upi(t)=0), então
y2(t)=D1e^r1(t-pi)+D2e^r2(t-pi)

Passo 8

As condições de continuidade em t=pi são
[y_2(\pi)=y_1(\pi),\qquad y_2’(\pi)=y_1’(\pi).

Passo 9

Defina
S1=y1(pi)=C1e^r1pi+C2e^r2pi-tfrac45,
e
[S_2=y_1’(\pi)=C_1r_1e{r_1\pi}+C_2r_2e{r_2\pi}.

Passo 10

Resolvendo
D1+D2=S1,r1D1+r2D2=S2,
vem
[D_1=\frac{S_2-r_2S_1}{r_1-r_2},\qquad D_2=\frac{r_1S_1-S_2}{r_1-r_2}.

Passo 11

Pronto: temos todos os coeficientes e a solução peça-por-peça.

Resposta

A solução do P.V.I. é
Para 0<= t:
y(t)=2(raiz6+1)5raiz6,e^tfrac-1+raiz62t+2(raiz6-1)5raiz6,e^tfrac-1-raiz62t-45
Para t>=pi: defina
S1=2(raiz6+1)5raiz6e^-1+raiz62pi+2(raiz6-1)5raiz6e^-1-raiz62pi-45,
S2=2(raiz6+1)5raiz6-1+raiz62e^-1+raiz62pi+2(raiz6-1)5raiz6-1-raiz62e^-1-raiz62pi
Então
D1=S2-tfrac-1-raiz62,S1raiz6, D2=tfrac-1+raiz62,S1-S2raiz6,
y(t)=D1e^tfrac-1+raiz62(t-pi)+D2e^tfrac-1-raiz62(t-pi)

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