Dada a equação diferencial
e
.
Determine a solução
do P.V.I.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o P.V.I.
com
e
. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem com forçamento descontínuo (função degrau de Heaviside). Vamos precisar: 1) achar a solução geral homogênea; 2) achar uma particular para o forçamento constante; 3) montar a solução para
; 4) aplicar as condições iniciais; 5) para
resolver apenas a homogênea com condições de continuidade em
.
Passo 2
A equação característica da homogênea
é
cuja raiz é
Passo 3
Como o forçamento para
é
, procuramos uma particular constante
. Substituindo,
Passo 4
Assim, para
a solução geral é
Passo 5
Derivando e aplicando
,
obtemos o sistema
Passo 6
Resolvendo,
[C_1=\frac{2(\sqrt6+1)}{5\sqrt6},\qquad C_2=\frac{2(\sqrt6-1)}{5\sqrt6}.
Passo 7
Para
o forçamento é nulo (
), então
Passo 8
As condições de continuidade em
são
[y_2(\pi)=y_1(\pi),\qquad y_2’(\pi)=y_1’(\pi).
Passo 9
Defina
e
[S_2=y_1’(\pi)=C_1r_1e{r_1\pi}+C_2r_2e{r_2\pi}.
Passo 10
Resolvendo
vem
[D_1=\frac{S_2-r_2S_1}{r_1-r_2},\qquad D_2=\frac{r_1S_1-S_2}{r_1-r_2}.
Passo 11
Pronto: temos todos os coeficientes e a solução peça-por-peça.
Resposta
A solução do P.V.I. é
Para :
Para
Para
: defina
Então