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Calcule
onde
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F = \left(3 + 2xy, x^{2} - 3y^{2}\right) $ ao longo de uma curva $ c $ que é definida por $ \gamma(t) = \left(te^{t}, t \cos(at)\right) $ para $ t $ entre 0 e $ \pi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e verificar se o campo vetorial é conservativo, o que pode simplificar bastante nossa vida.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $. Para isso, vamos comparar as derivadas parciais das componentes de $ F $:
Como
, o campo $ F $ é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que $ F $ é conservativo, podemos encontrar a função potencial $ \phi(x, y) $. Sabemos que:
Vamos integrar $ F_{1} $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.
Passo 4
Para determinar $ g(y) $, diferenciamos $ \phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos à segunda componente de $ F $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é uma constante que podemos ignorar para nossa integral.
Passo 5
Então, a função potencial completa é:
Passo 6
A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial e final da curva. Assim, temos:
Vamos calcular $ \gamma(0) $ e $ \gamma(\pi) $:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \phi(\gamma(\pi)) $ e $ \phi(\gamma(0)) $:
Resposta
A integral de linha é igual a