Seja F=(3+2 x y, x^2-3 y^2),(x, y) in R^2
Calcule integralc F cdot d r onde c: gamma(t)=(te^t, t cos (a t)), t in[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F = \left(3 + 2xy, x^{2} - 3y^{2}\right) $ ao longo de uma curva $ c $ que é definida por $ \gamma(t) = \left(te^{t}, t \cos(at)\right) $ para $ t $ entre 0 e $ \pi $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e verificar se o campo vetorial é conservativo, o que pode simplificar bastante nossa vida.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que $ F = \nabla \phi $. Para isso, vamos comparar as derivadas parciais das componentes de $ F $:
F
phi(x, y)
Como F = nabla phi , o campo $ F $ é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que $ F $ é conservativo, podemos encontrar a função potencial $ \phi(x, y) $. Sabemos que:
F
Vamos integrar $ F_{1} $ em relação a $ x $:
phi(x, y)
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração.

Passo 4

Para determinar $ g(y) $, diferenciamos $ \phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos à segunda componente de $ F $:
g(y)
Isso nos dá:
phi(x, y)
Onde $ C $ é uma constante que podemos ignorar para nossa integral.

Passo 5

Então, a função potencial completa é:
phi(x, y) = 3x + x^2y - y^3

Passo 6

A integral de linha de um campo conservativo depende apenas dos valores da função potencial nos pontos inicial e final da curva. Assim, temos:
integralc F cdot dr = phi(gamma(pi)) - phi(gamma(0))
Vamos calcular $ \gamma(0) $ e $ \gamma(\pi) $:
gamma(0)
gamma(pi)

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \phi(\gamma(\pi)) $ e $ \phi(\gamma(0)) $:
phi(gamma(pi))
phi(gamma(0))
phi(gamma(0)) = phi(0, 0) = 3(0) + 0^2(0) - 0^3 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a
3pi e^pi + pi^3 e^2pi cos(api) - pi^3 cos^3(api)

Exercícios relacionados