Dada a equação diferencial de segunda ordem
(x^2-1)(x+2)^3 y^prime prime+(x+2)^2 y^prime+x y=0
determine seus pontos singulares;

Passo 1

Nesse exercício, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem dada por
(x^2-1)(x+2)^3,y''+(x+2)^2,y'+x,y=0
O conteúdo é identificar pontos singulares de uma EDO linear: são os pontos onde o coeficiente de y'' se anula. Para isso, vamos precisar escrever a EDO na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
e extrair as funções P(x) e Q(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por (x^2-1)(x+2)^3, obtemos
y''+underbrace(x+2)^2(x^2-1)(x+2)^3P(x)y'+underbracex(x^2-1)(x+2)^3Q(x)y=0
Simplificando
P(x)=1(x-1)(x+1)(x+2), Q(x)=x(x-1)(x+1)(x+2)^3

Passo 3

Os pontos singulares são as raízes do coeficiente de y'', ou seja, as soluções de
(x^2-1)(x+2)^3=0
Logo, temos
x^2-1=0implies x=1,,-1e x+2=0implies x=-2

Passo 4

Para classificar: verificamos ordens de pólos em P(x) e Q(x).
  • Em x=1 e x=-1 o pólo em P(x) é simples e em Q(x) também é simples. Como (x-x0)P(x) e (x-x0)^2Q(x) são analíticas nesses pontos, eles são regulares.
  • Em x=-2 o pólo de P(x) é de ordem 1 mas o de Q(x) é de ordem 3, então (x+2)^2Q(x) ainda diverge: é um ponto singular irregular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são x=1, x=−1 e x=−2. Desses, x=1 e x=−1 são singulares regulares e x=−2 é singular irregular.

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