Dada a equação diferencial de segunda ordem
determine seus pontos singulares;
Passo 1
Nesse exercício, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem dada por
O conteúdo é identificar pontos singulares de uma EDO linear: são os pontos onde o coeficiente de
e extrair as funções
e
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Simplificando
Passo 3
Os pontos singulares são as raízes do coeficiente de
y'' , ou seja, as soluções de
Logo, temos
Passo 4
Para classificar: verificamos ordens de pólos em
P(x) e
Q(x) .
- Em
ex=1 o pólo emx=-1 é simples e emP(x) também é simples. ComoQ(x) e(x-x0)P(x) são analíticas nesses pontos, eles são regulares.(x-x0)^2Q(x) - Em
o pólo dex=-2 é de ordem 1 mas o deP(x) é de ordem 3, entãoQ(x) ainda diverge: é um ponto singular irregular.(x+2)^2Q(x)
Resposta
Os pontos singulares da equação são x=1, x=−1 e x=−2. Desses, x=1 e x=−1 são singulares regulares e x=−2 é singular irregular.