Dada a equação diferencial
y^(5)-16 y^prime=32 x-32
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial y^(5) - 16y' = 32x - 32 e pede para classificá-la quanto à ordem e quanto à linearidade. Vamos usar conceitos de EDO: a ordem é dada pela maior derivada presente e a linearidade depende de aparecerem as derivadas de forma linear (sem produtos ou funções não lineares de y e suas derivadas).

Passo 2

A ordem é definida pelo expoente da maior derivada presente na equação. Aqui temos y^(5), ou seja, a quinta derivada aparece, e não há derivadas de ordem maior. Portanto, trata-se de uma EDO de ordem 5.

Passo 3

Para verificar a linearidade, observamos se as derivadas de y aparecem apenas multiplicadas por funções de x (neste caso constantes) e sem produtos entre elas nem funções não lineares de y. Na equação y^(5) - 16y' = 32x - 32, todas as derivadas de y aparecem de forma linear e o termo não homogêneo 32x - 32 não afeta a linearidade. Logo, é EDO linear (não homogênea, pois o termo do lado direito não é zero).

Resposta

Equação diferencial ordinária de quinta ordem e linear não homogênea.

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