Determine uma matriz fundamental para cada sistema
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma matriz fundamental (ou seja, a matriz solução fundamental Φ(t)) do sistema
X'=AX onde
O conteúdo principal aqui é exponencial de matriz, pois para sistemas lineares constantes temos
Phi(t)=e^At .
Passo 2
Como
A é triangular com autovalor
2 de multiplicidade 3, podemos escrever
onde
N=A-2I é nilpotente (ou seja,
N^k=0 para algum
k ). Isso facilita o cálculo de
e^At via
Passo 3
Vamos calcular
N e
N^2 . Temos
Então
e
N^3=0 .
Passo 4
Como
N é nilpotente de ordem 3, a série do exponencial truncou:
Substituindo
N e
N^2 obtemos
Passo 5
Somando termo a termo:
Finalmente,
Passo 6
Essa
Phi(t)=e^At é uma matriz fundamental para o sistema
X'=AX , pois satisfaz
Phi'(t)=APhi(t) e
Phi(0)=I .