Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(lll 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 )

Passo 1

O enunciado pede para achar uma matriz fundamental (ou seja, a matriz solução fundamental Φ(t)) do sistema X'=AX onde
A=2 & 3 & 4[6pt]0 & 2 & 3[6pt]0 & 0 & 2
O conteúdo principal aqui é exponencial de matriz, pois para sistemas lineares constantes temos Phi(t)=e^At.

Passo 2

Como A é triangular com autovalor 2 de multiplicidade 3, podemos escrever
A=2I+N,
onde N=A-2I é nilpotente (ou seja, N^k=0 para algum k). Isso facilita o cálculo de e^At via
e^At=e^2te^Nt

Passo 3

Vamos calcular N e N^2. Temos
N=A-2I=0 & 3 & 4[4pt]0 & 0 & 3[4pt]0 & 0 & 0
Então
N^2=0 & 3 & 4[4pt]0 & 0 & 3[4pt]0 & 0 & 0^2 =0 & 0 & 9[4pt]0 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 0,
e N^3=0.

Passo 4

Como N é nilpotente de ordem 3, a série do exponencial truncou:
e^Nt=I+Nt+N^2t^22!
Substituindo N e N^2 obtemos
e^Nt=1 & 0 & 0[4pt]0 & 1 & 0[4pt]0 & 0 & 1 +,t0 & 3 & 4[4pt]0 & 0 & 3[4pt]0 & 0 & 0 +t^220 & 0 & 9[4pt]0 & 0 & 0[4pt]0 & 0 & 0

Passo 5

Somando termo a termo:
e^Nt=1 & 3t & 4t+tfrac92t^2[4pt]0 & 1 & 3t[4pt]0 & 0 & 1
Finalmente,
e^At=e^2te^Nt = e^2t1 & 3t & 4t+tfrac92t^2[4pt]0 & 1 & 3t[4pt]0 & 0 & 1

Passo 6

Essa Phi(t)=e^At é uma matriz fundamental para o sistema X'=AX, pois satisfaz Phi'(t)=APhi(t) e Phi(0)=I.

Resposta

Phi(t)=e^2t1 & 3t & 4t+tfrac92t^2[6pt]0 & 1 & 3t[6pt]0 & 0 & 1

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