Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(ll 1 & 2 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz fundamental para o sistema X’=AX com
A = 1 & 20 & 1.
Isso significa achar Phi(t) tal que Phi'(t)=A,Phi(t) e Phi(0)=I. Vamos usar a noção de exponencial de matriz.

Passo 2

Observamos que A tem autovalor lambda=1 com multiplicidade 2 e forma-se uma parte nilpotente ao subtrair I. Definimos
$$N = A - I = N = A - I = 1 & 20 & 1 - 1 & 00 & 1 = 0 & 20 & 0 - N^2=0 = .
$$
Note que , ou seja, N é nilpotente de ordem 2.

Passo 3

Para matrizes comutantes I e N vale
$$e^{A t} = e^{(I+N)t} = e{t},e{N t}.
e^A t = e^(I+N)t = e^t,e^N t ãée^{N t} = I + N t.
$$

Passo 4

Substituindo de volta, a matriz fundamental é
$$\Phi(t) = e^{A t} = e^{t},(I + N t) = e^{t} Phi(t) = e^A t = e^t,(I + N t) = e^t1 & 2t0 & 1 .
$$

Resposta

Phi(t)=e^t1 & 2t0 & 1

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