Determine uma matriz fundamental para cada sistema
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz fundamental para o sistema X’=AX com
A = .
Isso significa achar tal que
e
. Vamos usar a noção de exponencial de matriz.
A =
Isso significa achar
Passo 2
Observamos que A tem autovalor
com multiplicidade 2 e forma-se uma parte nilpotente ao subtrair I. Definimos
$$N = A - I =
-
=
.
$$
Note que , ou seja, N é nilpotente de ordem 2.
Note que
Passo 3
Para matrizes comutantes
e
vale
$$e^{A t} = e^{(I+N)t} = e{t},e{N t}.
$$
Passo 4
Substituindo de volta, a matriz fundamental é
$$\Phi(t) = e^{A t} = e^{t},(I + N t) = e^{t}
.
$$