Questão 5. Seja f(x)=\sqrt{x}.
(a) Calcule a derivada f^{\prime}(x).
(b) Encontre a equação da reta tangente no ponto x_{0}=4.
(c) Verifique se a reta tangente está acima ou abaixo do gráfico da função nas proximidades de x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\sqrt{x} e pede três coisas:
  1. (a) Calcular a derivada f'(x).
  2. (b) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto com abscissa x_{0}=4.
  3. (c) Verificar se essa reta tangente está acima ou abaixo do gráfico de f nas proximidades de x_{0}.
Informações relevantes que temos explicitamente:
\displaystyle f(x)=\sqrt{x} definida para x\ge 0.
O ponto onde queremos a tangente tem x_{0}=4.

Passo 2

Vou calcular a derivada usando a definição de derivada (diferença quociente) porque isso mostra direitinho de onde vem o resultado e dá uma técnica algébrica útil para a prova.
Definição de derivada: para uma função f diferenciável em x, a derivada é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui f(x)=\sqrt{x}. Substituindo na definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Esse limite tem uma diferença de raízes no numerador; uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+h}+\sqrt{x} para eliminar as raízes no numerador. Fazendo isso:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(x+h)-x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{h}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto, a derivada é
\boxed{\,f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad\text{para }x>0.\,}
Explicação curta do que isso significa: f'(x) dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f em x. A variável x é o ponto onde avalio a derivada; \sqrt{x} é o valor da função naquele ponto.

Passo 3

Só para reforçar (e porque nas provas costumam aceitar esse raciocínio mais rápido), podemos obter o mesmo resultado aplicando a regra do poder: escrevo \sqrt{x}=x^{1/2}. A regra do poder diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}
para n real (quando faz sentido). Aplicando com n=\tfrac12:
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
confirmando o resultado do passo anterior. Essa regra é um atalho útil, mas é bom saber a derivação por conjugado para quando a regra do poder não for justificada diretamente.

Passo 4

Agora calculo os valores necessários no ponto x_{0}=4.
Primeiro o valor da função:
f(4)=\sqrt{4}=2.
Em seguida a derivada em 4:
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
Então no ponto x_{0}=4 a inclinação da reta tangente é \tfrac{1}{4} e a ordenada do ponto é 2.

Passo 5

Fórmula da reta tangente: a equação da reta tangente a y=f(x) em x=x_{0} pode ser escrita como
y = f'(x_{0})(x-x_{0}) + f(x_{0}),
onde f'(x_{0}) é a inclinação, x a variável, x_{0} o ponto de tangência e f(x_{0}) a ordenada do ponto.
Substituindo f'(4)=\tfrac{1}{4}, x_{0}=4 e f(4)=2:
y=\frac{1}{4}(x-4)+2.
Posso simplificar:
y=\frac{1}{4}x -1 +2 = \frac{1}{4}x +1.
Portanto a equação da reta tangente é
\boxed{\,y=\frac{1}{4}x+1\,.}

Passo 6

Agora preciso verificar se a reta tangente está acima ou abaixo do gráfico nas proximidades de x_{0}=4. Uma forma limpa é usar a segunda derivada e a noção de concavidade.
Calculo a segunda derivada a partir de f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}:
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})x^{-3/2}=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2}.
Para x>0 temos x^{-3/2}>0, então
f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0\quad\text{para todo }x>0.
Interpretação: f''(x)<0 indica que a função é côncava para baixo (concavidade negativa) naquela região. Geometricamente, quando a curva é côncava para baixo, a reta tangente em qualquer ponto fica “acima” do gráfico próximo a esse ponto — a curva está curvada para baixo em relação à tangente.
Logo, em x_{0}=4 temos f''(4)=-\tfrac{1}{4}\cdot 4^{-3/2}<0, portanto a reta tangente está acima do gráfico nas proximidades de x_{0}.
Para ver isso com um pequeno cálculo numérico de confirmação, comparei em pontos próximos:
  • Para x=4{,}1: f(4{,}1)=\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}024845 e a reta dá y=\tfrac{1}{4}\cdot 4{,}1+1=2{,}025. A reta é ligeiramente maior.
  • Para x=3{,}9: f(3{,}9)=\sqrt{3{,}9}\approx 1{,}974842 e a reta dá y=\tfrac{1}{4}\cdot 3{,}9+1=1{,}975. De novo a reta é maior.
Esses testes numéricos confirmam a conclusão da segunda derivada.

Passo 7

Resumo final: já temos a derivada geral, a reta tangente pedida e a verificação da posição relativa (acima/abaixo) usando concavidade. Força aí nos estudos — essa técnica (diferença quociente + conjugado) aparece direto em provas quando a função tem raízes.

Resposta

(a) \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\n(b) \displaystyle y=\frac{1}{4}x+1.\n(c) A reta tangente está acima do gráfico de f nas proximidades de x_{0}=4.

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