Questão 5. Seja
.
(a) Calcule a derivada
.
(b) Encontre a equação da reta tangente no ponto
.
(c) Verifique se a reta tangente está acima ou abaixo do gráfico da função nas proximidades de
.
(a) Calcule a derivada
(b) Encontre a equação da reta tangente no ponto
(c) Verifique se a reta tangente está acima ou abaixo do gráfico da função nas proximidades de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Calcular a derivada
. - (b) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa . - (c) Verificar se essa reta tangente está acima ou abaixo do gráfico de
nas proximidades de .
Informações relevantes que temos explicitamente:
definida para
.
O ponto onde queremos a tangente tem .
O ponto onde queremos a tangente tem
Passo 2
Vou calcular a derivada usando a definição de derivada (diferença quociente) porque isso mostra direitinho de onde vem o resultado e dá uma técnica algébrica útil para a prova.
Definição de derivada: para uma função
diferenciável em
, a derivada é
Aqui
. Substituindo na definição:
Esse limite tem uma diferença de raízes no numerador; uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
para eliminar as raízes no numerador. Fazendo isso:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto, a derivada é
Explicação curta do que isso significa:
dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
em
. A variável
é o ponto onde avalio a derivada;
é o valor da função naquele ponto.
Passo 3
Só para reforçar (e porque nas provas costumam aceitar esse raciocínio mais rápido), podemos obter o mesmo resultado aplicando a regra do poder: escrevo
. A regra do poder diz que
para
real (quando faz sentido). Aplicando com
:
confirmando o resultado do passo anterior. Essa regra é um atalho útil, mas é bom saber a derivação por conjugado para quando a regra do poder não for justificada diretamente.
Passo 4
Agora calculo os valores necessários no ponto
.
Primeiro o valor da função:
Em seguida a derivada em
:
Então no ponto
a inclinação da reta tangente é
e a ordenada do ponto é
.
Passo 5
Fórmula da reta tangente: a equação da reta tangente a
em
pode ser escrita como
onde
é a inclinação,
a variável,
o ponto de tangência e
a ordenada do ponto.
Substituindo
,
e
:
Posso simplificar:
Portanto a equação da reta tangente é
Passo 6
Agora preciso verificar se a reta tangente está acima ou abaixo do gráfico nas proximidades de
. Uma forma limpa é usar a segunda derivada e a noção de concavidade.
Calculo a segunda derivada a partir de
:
Para
temos
, então
Interpretação:
indica que a função é côncava para baixo (concavidade negativa) naquela região. Geometricamente, quando a curva é côncava para baixo, a reta tangente em qualquer ponto fica “acima” do gráfico próximo a esse ponto — a curva está curvada para baixo em relação à tangente.
Logo, em
temos
, portanto a reta tangente está acima do gráfico nas proximidades de
.
Para ver isso com um pequeno cálculo numérico de confirmação, comparei em pontos próximos:
- Para
: e a reta dá . A reta é ligeiramente maior. - Para
: e a reta dá . De novo a reta é maior.
Esses testes numéricos confirmam a conclusão da segunda derivada.
Passo 7
Resumo final: já temos a derivada geral, a reta tangente pedida e a verificação da posição relativa (acima/abaixo) usando concavidade. Força aí nos estudos — essa técnica (diferença quociente + conjugado) aparece direto em provas quando a função tem raízes.
Resposta
(a)
.\n(b)
\n(c) A reta tangente está acima do gráfico de
nas proximidades de
.