Dada a equação diferencial: y^prime prime+a y^prime+(a+1) y=0. Dentre as alternativas abaixo, qual representa todos os valores de a in R para os quais a solução da equação possui um decaimento não oscilatório?
a nenhuma das demais alter-
c. a<1
(e) a>0 nativas
(b) a in R
(d) a<0
a>1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de ainR tais que a solução da EDO y'' + a,y' + (a+1),y = 0 apresente decaimento não oscilatório. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica, condições de discriminante e de estabilidade.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + a,r + (a+1) = 0

Passo 3

Resolvendo-a, o discriminante é
De

Passo 4

Para que a solução seja não oscilatória, precisamos de raízes reais, isto é, De= 0. Resolvendo
a^2 - 4a - 4 >= 0Longrightarrow a <= 2 - 2raiz2ou a >= 2 + 2raiz2

Passo 5

Para que haja decaimento, as raízes reais devem ser negativas. Como a soma das raízes é -a e o produto é a+1, exigimos
-a < 0 ;Longrightarrow; a>0,
a+1>0 ;Longrightarrow; a>-1

Passo 6

A interseção dessas condições com a <= 2 - 2raiz2 ou a >= 2 + 2raiz2 só satisfaz estabilidade (raízes negativas) quando
a >= 2 + 2raiz2

Passo 7

Esse intervalo não corresponde a nenhuma das opções a<1, a<0, a>0 ou a>1.

Resposta

a >= 2 + 2raiz2

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