Com relação ao P.V.I. y^prime prime+y^prime+alpha y=3 cos (2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0. Todos os valores de alpha in R para os quais a solução torna-se ilimitada são:
(a) para todo alpha<1 / 8.
c alpha=1 / 8.
E. Nenhuma das demais alternativas.
(b) para todo alpha <= 0.
d para todo -4 <= alpha <= 4.
f alpha>1 / 8.

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar o P.V.I. da EDO forçada
y'' + y' + alpha,y = 3cos(2t), y(0)=0,;y'(0)=0
é um problema de EDO linear com coeficientes constantes: vamos usar a decomposição em solução complementar (homogênea) e solução particular e buscar quando a resposta cresce sem limite.

Passo 2

Começamos achando as raízes do polinômio característico da parte homogênea
r^2 + r + alpha = 0
que são
r = -1 pm raiz1 - 4alpha2
O sinal real dessas raízes indica se a solução complementar é estável (decai) ou instável (cresce).

Passo 3

Analisando o produto das raízes temos
r1,r2 = alpha
Se alpha<0, o produto é negativo, logo uma das raízes é positiva. Isso gera um termo da forma C e^rt com r>0, que faz a solução complementar explodir exponencialmente. Portanto o P.V.I. fica ilimitado.

Passo 4

Para alpha>=0, ou ambas as raízes têm parte real negativa (caso alpha>0) ou há uma raiz zero simples (caso alpha=0), e nesse último a parte homogênea é constante mais exponent. decaindo. A solução particular obtida por método dos coeficientes a determinar gera apenas termos oscilatórios limitados, e não há ressonância não amortecida porque as raízes nunca são puramente imaginárias com parte real zero.

Passo 5

Concluímos que a única situação que torna a solução ilimitada é quando alpha<0. Como nenhuma das alternativas dadas é exatamente “ alpha<0”, a resposta certa é que não há opção correta listada.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas.

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