Dada a equação diferencial
y^(3)-y^prime=2 sin (x)+6 e^2 x
(b) Encontre a solução geral da mesma.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3)-y^prime=2sin(x)+6e^2x,
então o conteúdo é equações diferenciais lineares e vamos precisar resolver a parte homogênea (via equação característica) e depois achar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
yh^(3)-yh^prime=0
A equação característica é
lambda^3-lambda=0Longrightarrowlambda(lambda-1)(lambda+1)=0,
cuja raízes são lambda=0,1,-1. Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1+C2e^x+C3e^-x

Passo 3

Agora achamos uma solução particular yp1 para o termo 2sin(x) pelo método dos coeficientes indeterminados. Como não há ressonância com as raízes da característica, supomos
yp1=Acos x+Bsin x
Calculamos as derivadas
yp1'=-Asin x+Bcos x,
yp1'''=Asin x-Bcos x
Substituindo em y'''-y'=2sin x vem
yp1'''-yp1'=(Asin x-Bcos x)-(-Asin x+Bcos x)=2Asin x-2Bcos xstackrel!=2sin x
Assim 2A=2Rightarrow A=1 e -2B=0Rightarrow B=0, ou seja
yp1=cos x

Passo 4

Para o termo 6e^2x usamos outro palpite sem ressonância:
yp2=Ce^2x
Então
yp2'=2Ce^2x, yp2'''=8Ce^2x,
yp2'''-yp2'=6Ce^2xstackrel!=6e^2xLongrightarrow6C=6Rightarrow C=1
Logo
yp2=e^2x

Passo 5

Somando tudo, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com as soluções particulares:
y(x)=C1+C2e^x+C3e^-x+cos x+e^2x

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e{x}+C_{3}e{-x}+\cos x+e^{2x}

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