Dada a equação diferencial
(b) Encontre a solução geral da mesma.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
então o conteúdo é equações diferenciais lineares e vamos precisar resolver a parte homogênea (via equação característica) e depois achar uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
cuja raízes são
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora achamos uma solução particular
para o termo
pelo método dos coeficientes indeterminados. Como não há ressonância com as raízes da característica, supomos
Calculamos as derivadas
Substituindo em
vem
Assim
e
, ou seja
Passo 4
Para o termo
usamos outro palpite sem ressonância:
Então
Logo
Passo 5
Somando tudo, a solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com as soluções particulares:
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e{x}+C_{3}e{-x}+\cos x+e^{2x}