Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(d) y=-x^2-1, y=-2 x-4

Passo 1

Primeiro resumindo: a gente quer a área da região limitada pelas curvas y=-x^2-1 e y=-2x-4. Isso é integração definida, então precisaremos dos pontos de interseção e de conhecer qual curva fica em cima e qual fica embaixo.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos -x^2-1 = -2x -4. Reorganizando dá x^2 -2x -3 = 0, cujas raízes são x=-1 e x=3.

Passo 3

Agora, identifica qual curva está acima no intervalo [-1,3]. Por exemplo, em x=0, yparab=-1 e yreta=-4, então a parábola y=-x^2-1 está acima de y=-2x-4.

Passo 4

Então, montamos a integral da área como
A = integral-1^3 l((-x^2 -1) - (-2x -4)r),dx

Passo 5

Dentro da integral o integrando simplifica para -x^2 +2x +3. Integrando -x^2 +2x +3
-x^33 + x^2 + 3x

Passo 6

Por fim, avaliamos de -1 a 3: em x=3 fica -9 +9 +9 = 9 e em x=-1 fica tfrac13 +1 -3 = -tfrac53. A diferença 9 - (-tfrac53) resulta em tfrac323.

Resposta

tfrac323

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