7
Utilizando a mudança de variáveis: x=u+v e y=u-v, calcule:
integral0^1[integral0^1(x^2+y^2) d x] d y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla de (x^2+y^2) sobre o quadrado [0,1]times[0,1] usando mudança de variáveis. O conteúdo envolve transformar coordenadas, calcular o jacobiano e reescrever a região de integração em (u,v).

Passo 2

Definimos a transformação de variáveis como
x = u+v, y = u - v

Passo 3

Para encontrar o elemento de área em (u,v), montamos a matriz Jacobiana
J = partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = 1 & 11 & -1,
cujo determinante é det J = -2. Então
dx,dy = |det J|,du,dv = 2,du,dv

Passo 4

Expressamos o integrando em (u,v):
x^2 + y^2 = (u+v)^2 + (u-v)^2 = 2l(u^2 + v^2r),
e portanto
(x^2+y^2),dx,dy = 2(u^2+v^2)cdot2,du,dv = 4(u^2+v^2),du,dv

Passo 5

Agora reescrevemos a região de integração:
As condições 0<= x<=1 e 0<= y<=1 viram
0<= u+v<=1,0<= u-v<=1
Dessas obtemos
u>=|v|, u<=1-|v|, vinl[-tfrac12,tfrac12r]

Passo 6

Assim a integral fica
integralv=-tfrac12^tfrac12integralu=|v|^1-|v|4(u^2+v^2),du,dv

Passo 7

Integramos primeiro em u:
integral|v|^1-|v|4(u^2+v^2),du = 43l[(1-|v|)^3 - |v|^3r] + 4v^2(1-2|v|)

Passo 8

Em seguida, como o integrando e os limites são simétricos em v, usamos simetria para calcular
integral-1/2^1/2l[tfrac43((1-|v|)^3 - |v|^3) + 4v^2(1-2|v|)r]dv = 23

Resposta

23

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