Dada a equação diferencial
y^{(3)}-y^{\prime}=2 \sin (x)+6 e^{2 x}
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 3. É linear pois pode ser escrita na forma y^{(3)}+p_{2}(x) y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Encontre a solução geral da mesma. R: y(x)=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x}+c_{3}+e^{2 x}+\cos (x)
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

Enunciado dado: a equação diferencial
y^{(3)}-y^{\prime}=2 \sin (x)+6 e^{2 x}.
O que o problema pede:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade.
(b) Encontrar a solução geral da EDO.
(c) Mostrar que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Equação: }y^{(3)}-y^{\prime}=2\sin(x)+6e^{2x}.çã
Observações úteis que extraio do enunciado (apenas listando dados, sem resolver ainda):
  • O lado esquerdo envolve derivadas até a terceira ordem (há y^{(3)}), portanto a ordem provável é 3.
  • O lado direito é uma função conhecida de x, não nula, então a EDO é não homogênea.
  • Coeficientes das derivadas no lado esquerdo são constantes (1 para y^{(3)}, -1 para y', e 0 para y), o que é relevante para escolher métodos de solução.

Passo 2

Classificação (resposta à parte (a), mas com explicação didática):
  • Ordem: a ordem de uma EDO é a maior derivada presente. Aqui aparece y^{(3)}, a terceira derivada, e não aparece derivada de ordem maior. Logo a ordem é \,3.
  • Linearidade: uma EDO é linear se a função incógnita y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre elas, nem potências, nem funções não-lineares de y). O lado esquerdo pode ser escrito como a soma de termos p_2(x)y''+p_1(x)y'+p_0(x)y mais a derivada de ordem máxima; aqui temos
y^{(3)}+0\cdot y''-1\cdot y'+0\cdot y = \text{(função de }x\text{)},çã
portanto é linear. Como o termo do lado direito não é zero, a equação é linear não homogênea. Além disso, os coeficientes 0,-1,0,1 são constantes, então é uma EDO linear de coeficientes constantes.

Passo 3

Resolver a parte homogênea (fundamento para a solução geral). Vamos primeiro resolver a EDO homogênea associada:
y^{(3)}-y'=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo na homogênea, obtemos a equação característica em r:
r^{3}-r=0.
Resolver a equação característica passo a passo:
r^{3}-r = r(r^{2}-1)=r(r-1)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=0, r=1, r=-1. Todas são raízes simples (multiplicidade 1).
Significado: para cada raiz distinta r temos uma solução linearmente independente e^{r x}. Para r=0, e^{0x}=1 (constante). Logo a solução geral da homogênea (chamada solução complementar) é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Explicação curta pedagógica: a ideia é transformar a EDO homogênea em um polinômio em r; as raízes desse polinômio geram expoenciais e^{rx} que formam a base das soluções da homogênea.

Passo 4

Plano para a solução particular (parte não homogênea) e justificativa do método:
  • A equação é linear com coeficientes constantes, e o segundo membro (lado direito) é soma de funções simples: 2\sin(x) e 6e^{2x}.
  • Pelo princípio da superposição (linearidade), basta encontrar uma solução particular y_{p1} que gere 2\sin(x) e outra y_{p2} que gere 6e^{2x}; a soma y_{p}=y_{p1}+y_{p2} será solução particular da equação completa.
  • Método escolhido: coeficientes indeterminados (undetermined coefficients). Ele funciona quando o lado direito é combinação linear finita de funções cujo formato é preservado por derivação (polinômios, exponenciais, seno/cosseno, produtos simples). Aqui é adequado.

Passo 5

Encontrar y_{p1} tal que
\mathcal{L}[y_{p1}] := y_{p1}^{(3)}-y_{p1}^{\prime}=2\sin(x).
Escolha do palpite: para termo 2\sin(x) o palpite padrão é
y_{p1}(x)=A\cos(x)+B\sin(x),
com A,B constantes a determinar. (Motivo: derivadas de seno/cosseno geram combinações de seno e cosseno, então essa forma é fechada sob a operação y^{(3)}-y'.)
Calcular as derivadas (faça cada passo devagar):
y_{p1}(x)=A\cos x + B\sin x,
y_{p1}'(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_{p1}''(x)=-A\cos x - B\sin x,
y_{p1}^{(3)}(x)=A\sin x - B\cos x.
Agora aplique o operador linear:
y_{p1}^{(3)}-y_{p1}'=(A\sin x - B\cos x)-(-A\sin x + B\cos x).
Agrupando termos:
y_{p1}^{(3)}-y_{p1}'=A\sin x - B\cos x + A\sin x - B\cos x = 2A\sin x - 2B\cos x.
Queremos que isso seja igual a 2\sin x. Igualando coeficientes de \sin x e \cos x (seno e cosseno são funções linearmente independentes):
2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=1,
-2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto
y_{p1}(x)=\cos x.
Comentário didático: igualar coeficientes é válido porque se P(x)\sin x + Q(x)\cos x = 0 para todo x e P,Q são constantes, então P=Q=0. É a independência linear de \sin e \cos.

Passo 6

Encontrar y_{p2} tal que
y_{p2}^{(3)}-y_{p2}'=6e^{2x}.
Palpite pelo método dos coeficientes indeterminados: como a força é 6e^{2x}, tentamos
y_{p2}(x)=C e^{2x},
com C constante, desde que r=2 não seja raiz da equação característica da homogênea. Da Passo 3 vimos que as raízes são \{0,1,-1\}, então 2 não é raiz — logo C e^{2x} é um palpite adequado.
Calcule derivadas:
y_{p2}'(x)=2C e^{2x},\quad y_{p2}''(x)=4C e^{2x},\quad y_{p2}^{(3)}(x)=8C e^{2x}.
Então
y_{p2}^{(3)}-y_{p2}'=(8C-2C)e^{2x}=6C e^{2x}.
Queremos isso igual a 6e^{2x}, logo
6C = 6 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto
y_{p2}(x)=e^{2x}.

Passo 7

Combinar as partes para obter a solução particular total e, em seguida, a solução geral:
  • Soma das particulares:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\cos x + e^{2x}.
  • Solução geral = solução complementar + solução particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}+\;e^{2x}+\cos x.
Observação didática: os C_{i} são constantes arbitrárias que aparecem pela integração ao resolver a homogênea; a parte particular não tem constantes livres (já determinadas).

Passo 8

Verificação (mostrando que a função encontrada de fato satisfaz a EDO), resposta à parte (c).
Para verificar, use linearidade: o operador \mathcal{L}[y]=y^{(3)}-y' é linear, então
\mathcal{L}[y]=\mathcal{L}[y_{h}]+\mathcal{L}[y_{p}].
  • Para y_{h}: cada termo e^{rx} com r\in\{1,-1,0\} satisfaz \mathcal{L}[e^{rx}]=r^{3}e^{rx}-r e^{rx}=r(r^{2}-1)e^{rx}=0 (porque r é raiz da característica). Assim \mathcal{L}[y_{h}]=0.
  • Para y_{p}: já calculamos separadamente
    • \mathcal{L}[\cos x]=2\sin x (Passo 5 resultou em 2A\sin x-2B\cos x com A=1,B=0),
    • \mathcal{L}[e^{2x}]=6e^{2x} (Passo 6).
      Logo
\mathcal{L}[y_{p}]=2\sin x+6e^{2x}.
Somando,
\mathcal{L}[y]=\mathcal{L}[y_{h}]+\mathcal{L}[y_{p}]=0+(2\sin x+6e^{2x})=2\sin x+6e^{2x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a função encontrada satisfaz a EDO.

Passo 9

Recapitulando de forma motivadora: conseguimos achar a solução homogênea usando raízes da equação característica e a solução particular por palpite fundamentado (coeficientes indeterminados), e verificamos que a soma satisfaz a EDO. Tu mandou bem pedindo passo a passo — é assim que se faz na prova quando o enunciado tem termos exponenciais e trigonométricos!

Resposta

(a) Ordem 3. É linear (linear não homogênea) com coeficientes constantes.
(b) \displaystyle y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}+e^{2x}+\cos x.
(c) Sim. Substituindo essa y em \,y^{(3)}-y'\ obtém-se \,2\sin x+6e^{2x}, ou seja, a função satisfaz a EDO.

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