Dada a equação diferencial
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 3. É linear pois pode ser escrita na forma
(b) Encontre a solução geral da mesma. R:
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) Encontre a solução geral da mesma. R:
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
Enunciado dado: a equação diferencial
O que o problema pede:
(a) Classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade.
(b) Encontrar a solução geral da EDO.
(c) Mostrar que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO.
(a) Classificar a EDO quanto à ordem e quanto à linearidade.
(b) Encontrar a solução geral da EDO.
(c) Mostrar que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observações úteis que extraio do enunciado (apenas listando dados, sem resolver ainda):
- O lado esquerdo envolve derivadas até a terceira ordem (há
), portanto a ordem provável é 3. - O lado direito é uma função conhecida de
, não nula, então a EDO é não homogênea. - Coeficientes das derivadas no lado esquerdo são constantes (1 para
, para , e para ), o que é relevante para escolher métodos de solução.
Passo 2
Classificação (resposta à parte (a), mas com explicação didática):
- Ordem: a ordem de uma EDO é a maior derivada presente. Aqui aparece
, a terceira derivada, e não aparece derivada de ordem maior. Logo a ordem é . - Linearidade: uma EDO é linear se a função incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre elas, nem potências, nem funções não-lineares de ). O lado esquerdo pode ser escrito como a soma de termos mais a derivada de ordem máxima; aqui temos
portanto é linear. Como o termo do lado direito não é zero, a equação é linear não homogênea. Além disso, os coeficientes
são constantes, então é uma EDO linear de coeficientes constantes.
Passo 3
Resolver a parte homogênea (fundamento para a solução geral). Vamos primeiro resolver a EDO homogênea associada:
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo na homogênea, obtemos a equação característica em
:
Resolver a equação característica passo a passo:
portanto as raízes são
,
,
. Todas são raízes simples (multiplicidade 1).
Significado: para cada raiz distinta
temos uma solução linearmente independente
. Para
,
(constante). Logo a solução geral da homogênea (chamada solução complementar) é
onde
são constantes arbitrárias.
Explicação curta pedagógica: a ideia é transformar a EDO homogênea em um polinômio em
; as raízes desse polinômio geram expoenciais
que formam a base das soluções da homogênea.
Passo 4
Plano para a solução particular (parte não homogênea) e justificativa do método:
- A equação é linear com coeficientes constantes, e o segundo membro (lado direito) é soma de funções simples:
e . - Pelo princípio da superposição (linearidade), basta encontrar uma solução particular
que gere e outra que gere ; a soma será solução particular da equação completa. - Método escolhido: coeficientes indeterminados (undetermined coefficients). Ele funciona quando o lado direito é combinação linear finita de funções cujo formato é preservado por derivação (polinômios, exponenciais, seno/cosseno, produtos simples). Aqui é adequado.
Passo 5
Encontrar
tal que
Escolha do palpite: para termo
o palpite padrão é
com
constantes a determinar. (Motivo: derivadas de seno/cosseno geram combinações de seno e cosseno, então essa forma é fechada sob a operação
.)
Calcular as derivadas (faça cada passo devagar):
Agora aplique o operador linear:
Agrupando termos:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
(seno e cosseno são funções linearmente independentes):
Portanto
Comentário didático: igualar coeficientes é válido porque se
para todo
e
são constantes, então
. É a independência linear de
e
.
Passo 6
Encontrar
tal que
Palpite pelo método dos coeficientes indeterminados: como a força é
, tentamos
com
constante, desde que
não seja raiz da equação característica da homogênea. Da Passo 3 vimos que as raízes são
, então
não é raiz — logo
é um palpite adequado.
Calcule derivadas:
Então
Queremos isso igual a
, logo
Portanto
Passo 7
Combinar as partes para obter a solução particular total e, em seguida, a solução geral:
- Soma das particulares:
- Solução geral = solução complementar + solução particular:
Observação didática: os
são constantes arbitrárias que aparecem pela integração ao resolver a homogênea; a parte particular não tem constantes livres (já determinadas).
Passo 8
Verificação (mostrando que a função encontrada de fato satisfaz a EDO), resposta à parte (c).
Para verificar, use linearidade: o operador é linear, então
Para verificar, use linearidade: o operador
- Para
: cada termo com satisfaz (porque é raiz da característica). Assim . - Para
: já calculamos separadamente -
(Passo 5 resultou em com ), -
(Passo 6).
Logo
-
Somando,
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a função encontrada satisfaz a EDO.
Passo 9
Recapitulando de forma motivadora: conseguimos achar a solução homogênea usando raízes da equação característica e a solução particular por palpite fundamentado (coeficientes indeterminados), e verificamos que a soma satisfaz a EDO. Tu mandou bem pedindo passo a passo — é assim que se faz na prova quando o enunciado tem termos exponenciais e trigonométricos!
Resposta
(a) Ordem
. É linear (linear não homogênea) com coeficientes constantes.
(b)
(c) Sim. Substituindo essa em
obtém-se
, ou seja, a função satisfaz a EDO.
(b)
(c) Sim. Substituindo essa