A equação diferencial q^{\prime \prime}+3 q^{\prime}+2 q=0 representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(a) a solução geral da equação diferencial; q(t)=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} e^{-t}
(b) a solução particular (solução do PVI); q(t)=-5 e^{-2 t}+10 e^{-t}
(c) o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo; q(1) \approx 3 C, i(1) \approx-2,33 A

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: q''(t)+3\,q'(t)+2\,q(t)=0.
  • Condições iniciais: q(0)=5 e a corrente inicial é nula. Como a corrente é a derivada da carga, temos i(t)=q'(t) e portanto q'(0)=0.
As perguntas são:
(a) encontrar a solução geral da equação diferencial;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais (PVI);
(c) calcular o valor da carga q(1) e da corrente i(1) no instante t=1 segundo.

Passo 2

Método para resolver: esta é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução da forma exponencial e obter a equação característica. Explico passo a passo o porquê:
  • Proposta de solução: suponha q(t)=e^{r t}. Isso é útil porque derivando exponenciais obtemos o mesmo tipo de função, o que transforma a EDO em um polinômio em r.
  • Substituindo na EDO: q''=r^{2}e^{r t},\quad q'=r e^{r t}. Inserindo em q''+3q'+2q=0 e dividindo por e^{r t} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^{2}+3r+2=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Vou resolver como fatoração porque é a forma mais direta quando possível.
  • Procuro dois números cujo produto seja 2 (termo constante) e soma seja 3 (coeficiente de r). Esses números são 1 e 2.
  • Logo a fatoração é r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0.
  • Assim as raízes são r=-1\quad\text{e}\quad r=-2.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
q(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t},
onde c_{1} e c_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Derivar q(t) para relacionar com a condição inicial da corrente. Relembre a regra de derivação: \frac{d}{dt}(e^{a t})=a e^{a t}.
  • Diferenciando q(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t} obtemos
q'(t)=-2c_{1}e^{-2t}-c_{2}e^{-t}.
  • Em particular, avaliando em t=0 temos
q(0)=c_{1}+c_{2}=5
(pela condição q(0)=5) e
q'(0)=-2c_{1}-c_{2}=0
(pela condição q'(0)=0).
Agora temos um sistema linear de duas equações para c_{1} e c_{2}.

Passo 5

Resolver o sistema para encontrar [c_{1}) e c_{2}.
Sistema:
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=5,\\[4pt] -2c_{1}-c_{2}=0. \end{cases}
Vou resolver isolando (c_{2}] da segunda equação:
-2c_{1}-c_{2}=0 \implies c_{2}=-2c_{1}.
Substituindo na primeira:
c_{1}+(-2c_{1})=5 \implies -c_{1}=5 \implies c_{1}=-5.
Então
c_{2}=-2(-5)=10.
Portanto a solução particular (aquela que satisfaz o PVI) é
q(t)=-5e^{-2t}+10e^{-t}.]

Passo 6

Achar a corrente geral e particular e simplificar. Lembre que a corrente é i(t)=q'(t).
  • Usando as constantes encontradas em q'(t)=-2c_{1}e^{-2t}-c_{2}e^{-t}, substituímos c_{1}=-5 e c_{2}=10:
i(t)=q'(t)=10e^{-2t}-10e^{-t}=10\bigl(e^{-2t}-e^{-t}\bigr).
Isso é útil para calcular i(1).

Passo 7

Calcular q(1) e i(1). Primeiro escrevo as expressões explícitas e depois faço aproximações numéricas usando valores conhecidos: e^{-1}\approx 0{,}3678794412 e e^{-2}\approx 0{,}1353352832.
  • Para a carga em t=1:
q(1)=-5e^{-2}+10e^{-1}.
Substituindo numericamente:
q(1)\approx -5\cdot 0{,}1353352832 + 10\cdot 0{,}3678794412
q(1)\approx -0{,}676676416 + 3{,}678794412 \approx 3{,}002117996 \approx 3{,}00\\ \mathrm{C}.
  • Para a corrente em t=1:
i(1)=10\bigl(e^{-2}-e^{-1}\bigr).
Substituindo numericamente:
i(1)\approx 10\bigl(0{,}1353352832-0{,}3678794412\bigr)
i(1)\approx 10\cdot(-0{,}2325441580)\approx -2{,}32544158 \approx -2{,}33\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a carga está cerca de 3{,}00 coulombs após 1 s, e a corrente está negativa (fluxo no sentido contrário ao considerado positivo) com aproximadamente -2{,}33 ampères.

Resposta

(a) q(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t}
(b) q(t)=-5e^{-2t}+10e^{-t}
(c) q(1)\approx 3{,}00\\ \mathrm{C}
i(1)\approx -2{,}33\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados