A equação diferencial
representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
(a) a solução geral da equação diferencial;
(b) a solução particular (solução do PVI);
(c) o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo;
(a) a solução geral da equação diferencial;
(b) a solução particular (solução do PVI);
(c) o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
e a corrente inicial é nula. Como a corrente é a derivada da carga, temos e portanto
As perguntas são:
(a) encontrar a solução geral da equação diferencial;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais (PVI);
(c) calcular o valor da carga e da corrente
no instante
segundo.
(a) encontrar a solução geral da equação diferencial;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais (PVI);
(c) calcular o valor da carga
Passo 2
Método para resolver: esta é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A técnica padrão é propor uma solução da forma exponencial e obter a equação característica. Explico passo a passo o porquê:
- Proposta de solução: suponha
Isso é útil porque derivando exponenciais obtemos o mesmo tipo de função, o que transforma a EDO em um polinômio em . - Substituindo na EDO:
Inserindo em e dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica. Vou resolver como fatoração porque é a forma mais direta quando possível.
- Procuro dois números cujo produto seja
(termo constante) e soma seja (coeficiente de ). Esses números são e . - Logo a fatoração é
- Assim as raízes são
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Derivar
para relacionar com a condição inicial da corrente. Relembre a regra de derivação:
.
- Diferenciando
obtemos
- Em particular, avaliando em
temos
(pela condição
) e
(pela condição
).
Agora temos um sistema linear de duas equações para
e
.
Passo 5
Resolver o sistema para encontrar [c_{1}) e
.
Sistema:
Vou resolver isolando (c_{2}] da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então
Substituindo na primeira:
Então
Portanto a solução particular (aquela que satisfaz o PVI) é
Passo 6
Achar a corrente geral e particular e simplificar. Lembre que a corrente é
.
- Usando as constantes encontradas em
, substituímos e :
Isso é útil para calcular
.
Passo 7
Calcular
e
. Primeiro escrevo as expressões explícitas e depois faço aproximações numéricas usando valores conhecidos:
e
.
- Para a carga em
:
Substituindo numericamente:
- Para a corrente em
:
Substituindo numericamente:
Interpretação: a carga está cerca de
coulombs após 1 s, e a corrente está negativa (fluxo no sentido contrário ao considerado positivo) com aproximadamente
ampères.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)