Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes. R:
Passo 1
O enunciado pede: “Escrever uma EDO linear homogênea cuja solução geral é” e dá a solução geral
onde
são constantes arbitrárias. Informações relevantes fornecidas: os termos da solução são
,
e as funções
. A EDO procurada deve ser linear, homogênea e de coeficientes constantes (implícito pelo tipo de solução exponencial/polinomial).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos uma equação do tipo
Associa-se a ela o polinômio característico em
:
Se
é uma raiz do polinômio característico de multiplicidade
, então a solução geral inclui os termos
No caso especial
, os termos
,
,
, … aparecem. Por isso, a relação entre raízes multiplicadas e termos da solução é direta: multiplicidade
gera
soluções independentes com potências de
multiplicando
.
Passo 3
Identificação das raízes a partir da solução dada: os termos
e
indicam que
é raiz de multiplicidade
(porque geram
e
). Os termos
indicam que
é raiz de multiplicidade
. Logo, o polinômio característico deve ter como fatores
e
.
Passo 4
Formação do polinômio característico:
A ordem da EDO será o grau de
, que é
, portanto esperamos uma EDO de sexta ordem com seis constantes arbitrárias na solução (coincide com
).
Passo 5
Expandir
passo a passo. Primeiro,
Agora elevamos ao quadrado:
Expandindo cuidadosamente:
Calculando termo a termo:
Somando termos semelhantes em ordem decrescente:
Passo 6
Multiplicar por
para obter
:
Distribuindo
:
Observe que não há termos em
nem termo constante, o que significa que os coeficientes correspondentes a
e
na EDO serão zero.
Passo 7
Mapeamento do polinômio característico para a equação diferencial: substituímos
por
(a convenção padrão para ODE de coeficientes constantes com coeficiente principal
). Assim a EDO homogênea com esse polinômio característico é
Essa equação é de sexta ordem e tem espaço de soluções de dimensão
. As funções identificadas no passo 3 formam uma base de soluções independentes associadas às raízes
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
), portanto a solução geral é exatamente a dada no enunciado.
Passo 8
Checagem rápida (intuitiva): cada termo
é anulado pelo operador
(onde
), e os termos
são anulado por
. Então o operador composto
aplica-se a
e resulta em zero, o que corresponde exatamente à EDO encontrada.