Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
y=A x+B+C e^{3 x}+D x e^{3 x}+E x^{2} e^{3 x}+F x^{3} e^{3 x}
onde A, B, C, D, E e F são constantes. R: y^{(6)}-12 y^{(5)}+54 y^{(4)}-108 y^{\prime \prime \prime}+81 y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede: “Escrever uma EDO linear homogênea cuja solução geral é” e dá a solução geral
y = A x + B + C e^{3x} + D x e^{3x} + E x^{2} e^{3x} + F x^{3} e^{3x},
onde A,B,C,D,E,F são constantes arbitrárias. Informações relevantes fornecidas: os termos da solução são 1, x e as funções e^{3x},\,x e^{3x},\,x^{2}e^{3x},\,x^{3}e^{3x}. A EDO procurada deve ser linear, homogênea e de coeficientes constantes (implícito pelo tipo de solução exponencial/polinomial).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos uma equação do tipo
a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}y'+a_{0}y=0.
Associa-se a ela o polinômio característico em r:
a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_{1}r+a_{0}=0.
Se r_{0} é uma raiz do polinômio característico de multiplicidade m, então a solução geral inclui os termos
e^{r_{0}x},\; x e^{r_{0}x},\; x^{2} e^{r_{0}x},\; \dots,\; x^{m-1} e^{r_{0}x}.
No caso especial r_{0}=0, os termos e^{0\cdot x}=1, x, x^{2}, … aparecem. Por isso, a relação entre raízes multiplicadas e termos da solução é direta: multiplicidade m gera m soluções independentes com potências de x multiplicando e^{r_{0}x}.

Passo 3

Identificação das raízes a partir da solução dada: os termos 1 e x indicam que r=0 é raiz de multiplicidade 2 (porque geram 1 e x). Os termos e^{3x},\,x e^{3x},\,x^{2}e^{3x},\,x^{3}e^{3x} indicam que r=3 é raiz de multiplicidade 4. Logo, o polinômio característico deve ter como fatores (r-0)^{2}=r^{2} e (r-3)^{4}.

Passo 4

Formação do polinômio característico:
p(r)=r^{2}(r-3)^{4}.
A ordem da EDO será o grau de p(r), que é 2+4=6, portanto esperamos uma EDO de sexta ordem com seis constantes arbitrárias na solução (coincide com A,B,C,D,E,F).

Passo 5

Expandir (r-3)^{4} passo a passo. Primeiro,
(r-3)^{2}=r^{2}-6r+9.
Agora elevamos ao quadrado:
(r-3)^{4}=(r^{2}-6r+9)^{2}.
Expandindo cuidadosamente:
(r^{2}-6r+9)^{2}=r^{4}+(-6r)^{2}+9^{2}+2\cdot r^{2}\cdot(-6r)+2\cdot r^{2}\cdot 9+2\cdot(-6r)\cdot 9.
Calculando termo a termo:
r^{4}+36r^{2}+81-12r^{3}+18r^{2}-108r.
Somando termos semelhantes em ordem decrescente:
(r-3)^{4}=r^{4}-12r^{3}+54r^{2}-108r+81.

Passo 6

Multiplicar por r^{2} para obter p(r):
p(r)=r^{2}(r-3)^{4}=r^{2}\bigl(r^{4}-12r^{3}+54r^{2}-108r+81\bigr).
Distribuindo r^{2}:
p(r)=r^{6}-12r^{5}+54r^{4}-108r^{3}+81r^{2}.
Observe que não há termos em r nem termo constante, o que significa que os coeficientes correspondentes a y' e y na EDO serão zero.

Passo 7

Mapeamento do polinômio característico para a equação diferencial: substituímos r^{k} por y^{(k)} (a convenção padrão para ODE de coeficientes constantes com coeficiente principal 1). Assim a EDO homogênea com esse polinômio característico é
y^{(6)}-12y^{(5)}+54y^{(4)}-108y^{(3)}+81y''=0.
Essa equação é de sexta ordem e tem espaço de soluções de dimensão 6. As funções identificadas no passo 3 formam uma base de soluções independentes associadas às raízes 0 (multiplicidade 2) e 3 (multiplicidade 4), portanto a solução geral é exatamente a dada no enunciado.

Passo 8

Checagem rápida (intuitiva): cada termo e^{3x},\;x e^{3x},\;x^{2}e^{3x},\;x^{3}e^{3x} é anulado pelo operador (D-3)^{4} (onde D=\tfrac{d}{dx}), e os termos 1,x são anulado por D^{2}. Então o operador composto D^{2}(D-3)^{4} aplica-se a y e resulta em zero, o que corresponde exatamente à EDO encontrada.

Resposta

y^{(6)}-12y^{(5)}+54y^{(4)}-108y^{(3)}+81y''=0

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