Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 2 kg , preso a uma mola de constante
, que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de
para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de
, determine a posição do corpo em
.
(a) determine a posição do corpo em um instante
(b) determine a posição do corpo em
(a) determine a posição do corpo em um instante
(b) determine a posição do corpo em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) determinar a posição do corpo em função do tempo
, isto é
; (b) avaliar essa posição em
. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
Não faço suposições além dessas: tomo como positivo o sentido do deslocamento downward (para baixo), de modo que
é positivo.
Passo 2
Montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton. As forças atuantes (no eixo vertical positivo para baixo) são: força elástica da mola para cima
e força externa
para baixo. Pela segunda lei:
Substituindo os dados:
Passo 3
Colocar a equação em forma padrão dividindo por
:
Aqui a equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
.
Passo 4
Explicar o método de solução: a solução geral é soma da solução homogênea
(resolvendo
) e de uma solução particular
(que compensa o termo
). Ou seja,
Passo 5
Resolver a homogênea. A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Assim a solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação didática: raízes imaginárias
levam a combinações de
e
; aqui
.
Passo 6
Determinar uma solução particular
. Como o termo forçante é
, usamos o método dos coeficientes indeterminados e propomos
porque derivadas de
e
voltam a essas funções. Substituímos na equação:
Devemos igualar isso a
, então obtemos o sistema
Logo
Portanto
Passo 7
Escrever a solução geral juntando homogênea e particular:
Agora aplicamos as condições iniciais. Sabemos que
e que, por ter sido “solto”, a velocidade inicial é
.
Passo 8
Calcular
e
. Primeiro
:
Logo
Agora a derivada:
Assim
Como
, obtemos
e então
Passo 9
Substituindo
e
obtemos a solução final em função do tempo:
Breve comentário prático: a primeira parcela
é a resposta forçada (freqüência da força externa
), e a segunda parcela
é a oscilação livre com a frequência natural
.
Passo 10
Avaliar
. Usamos a fórmula encontrada:
Usando aproximações numéricas (pegando os valores de
numa calculadora padrão):
Então
Arredondando para duas casas decimais:
. Interpretação rápida: sinal negativo significa que, no nosso eixo (positiva para baixo), o corpo está
acima (ou seja, para cima) da posição de equilíbrio nesse instante.