Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 2 kg , preso a uma mola de constante 8 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de 0,5 \mathrm{~m} para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de 4 \cos t \mathrm{~N}, determine a posição do corpo em t=2 s.
(a) determine a posição do corpo em um instante t . \quad x(t)=\frac{2}{3} \cos t-\frac{1}{6} \cos (2 t)
(b) determine a posição do corpo em t=2 s . \quad x(2) \approx-0,17 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar a posição do corpo em função do tempo t, isto é x(t); (b) avaliar essa posição em t=2\\ \text{s}. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
\text{massa } m=2\\ \text{kg},
\text{constante da mola } k=8\\ \text{N/m},
\text{força externa } F_{\text{ext}}(t)=4\cos t\\ \text{N},ç
\text{deslocamento inicial } x(0)=0{,}5\\ \text{m (para baixo da posição de equilíbrio)},çãí
\text{solto (portanto velocidade inicial } x'(0)=0).
Não faço suposições além dessas: tomo como positivo o sentido do deslocamento downward (para baixo), de modo que x(0)=0{,}5 é positivo.

Passo 2

Montar a equação do movimento usando a segunda lei de Newton. As forças atuantes (no eixo vertical positivo para baixo) são: força elástica da mola para cima -kx e força externa F_{\text{ext}}(t) para baixo. Pela segunda lei:
m x''(t)= -k x(t) + F_{\text{ext}}(t).
Substituindo os dados:
2\,x''(t) = -8\,x(t) + 4\cos t.

Passo 3

Colocar a equação em forma padrão dividindo por 2:
x''(t)+4x(t)=2\cos t.
Aqui a equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 2\cos t.

Passo 4

Explicar o método de solução: a solução geral é soma da solução homogênea x_h (resolvendo x''+4x=0) e de uma solução particular x_p (que compensa o termo 2\cos t). Ou seja,
x(t)=x_h(t)+x_p(t).

Passo 5

Resolver a homogênea. A equação homogênea é
x''+4x=0.
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Assim a solução homogênea é
x_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais. Explicação didática: raízes imaginárias \pm i\omega levam a combinações de \cos(\omega t) e \sin(\omega t); aqui \omega=2.

Passo 6

Determinar uma solução particular x_p. Como o termo forçante é 2\cos t, usamos o método dos coeficientes indeterminados e propomos
x_p(t)=C\cos t + D\sin t,
porque derivadas de \cos t e \sin t voltam a essas funções. Substituímos na equação:
x_p''+4x_p = (-C\cos t - D\sin t) + 4(C\cos t + D\sin t) = 3C\cos t + 3D\sin t.
Devemos igualar isso a 2\cos t, então obtemos o sistema
3C = 2,\qquad 3D = 0.
Logo
C=\frac{2}{3},\qquad D=0.
Portanto
x_p(t)=\frac{2}{3}\cos t.

Passo 7

Escrever a solução geral juntando homogênea e particular:
x(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\frac{2}{3}\cos t.
Agora aplicamos as condições iniciais. Sabemos que x(0)=0{,}5 e que, por ter sido “solto”, a velocidade inicial é x'(0)=0.

Passo 8

Calcular A e B. Primeiro x(0):
x(0)=A + 0 + \frac{2}{3}=0{,}5.
Logo
A = 0{,}5 - \frac{2}{3} = \frac{1}{2}-\frac{2}{3} = -\frac{1}{6}.
Agora a derivada:
x'(t) = -2A\sin(2t)+2B\cos(2t)-\frac{2}{3}\sin t.
Assim
x'(0)=0 + 2B - 0 = 2B.
Como x'(0)=0, obtemos 2B=0 e então
B=0.

Passo 9

Substituindo A e B obtemos a solução final em função do tempo:
x(t)=\frac{2}{3}\cos t - \frac{1}{6}\cos(2t).
Breve comentário prático: a primeira parcela \frac{2}{3}\cos t é a resposta forçada (freqüência da força externa \omega=1), e a segunda parcela -\frac{1}{6}\cos(2t) é a oscilação livre com a frequência natural \omega_0=2.

Passo 10

Avaliar x(2). Usamos a fórmula encontrada:
x(2)=\frac{2}{3}\cos 2 - \frac{1}{6}\cos 4.
Usando aproximações numéricas (pegando os valores de \cos numa calculadora padrão):
\cos 2 \approx -0{,}4161468,\qquad \cos 4 \approx -0{,}6536436.
Então
x(2)\approx \frac{2}{3}(-0{,}4161468) - \frac{1}{6}(-0{,}6536436)
\phantom{x(2)}\approx -0{,}2774312 + 0{,}1089406 \approx -0{,}1684906.
Arredondando para duas casas decimais: x(2)\approx -0{,}17\\ \text{m}. Interpretação rápida: sinal negativo significa que, no nosso eixo (positiva para baixo), o corpo está 0{,}17\\ \text{m} acima (ou seja, para cima) da posição de equilíbrio nesse instante.

Resposta

x(t)=\frac{2}{3}\cos t - \frac{1}{6}\cos(2t)
x(2)\approx -0{,}17\ \text{m}

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