Dada a equação diferencial
y^prime=e^x-y
Determine a sua solução na forma explícita.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'=e^x-y em forma explícita. O conteúdo aqui é ODE de variáveis separáveis, e vamos precisar isolar y e x em lados diferentes e depois integrar ambas as partes.

Passo 2

Começamos reescrevendo y'=dydx e usando a propriedade de exponenciais:
dydx=e^x-y=e^x,e^-y
Multiplicando ambos os lados por e^y e por dx, obtemos uma separação de variáveis:
e^y,dy=e^x,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral e^y,dy=integral e^x,dx
Isso resulta em
e^y=e^x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Para chegar à forma explícita em y, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
y=lnl(e^x+Cr)

Resposta

y(x)=lnl(e^x+Cr)

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