Dado o problema de valor inicial
d yd x=2 x+y3+3 y^2-x, y(1)=1
Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI: dydx=2x+y3+3y^2-x com condição inicial y(1)=1. O conteúdo é EDO de primeira ordem; a pista é que dá pra tratar como uma equação exata escrevendo tudo numa forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 2

Reescrevo a EDO como
-(2x+y),dx+(3+3y^2-x),dy=0,
onde identifiquei M(x,y)=-(2x+y) e N(x,y)=3+3y^2-x. Testo exatidão verificando partial Mpartial y=-1 e partial Npartial x=-1, logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N. Integro psix=-(2x+y) em relação a x:
psi(x,y)=-x^2-xy+h(y)
Depois calculo psiy e igualo a N:
psiy=-x+h'(y)=3+3y^2-x,
o que dá h'(y)=3+3y^2. Integrando em y vem h(y)=3y+y^3 (constante absorvida depois). Portanto
psi(x,y)=-x^2-xy+y^3+3y

Passo 4

A solução geral implícita é psi(x,y)=C, ou seja
-x^2-xy+y^3+3y=C
Agora uso a condição inicial y(1)=1:
-1^2-1cdot1+1^3+3cdot1= -1-1+1+3=2,
logo C=2.

Resposta

A solução implícita do PVI é
-x^2-xy+y^3+3y=2

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