Dado o problema de valor inicial
Determine a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver o PVI:
com condição inicial
. O conteúdo é EDO de primeira ordem; a pista é que dá pra tratar como uma equação exata escrevendo tudo numa forma
.
Passo 2
Reescrevo a EDO como
onde identifiquei
e
. Testo exatidão verificando
e
, logo a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
e
. Integro
em relação a
:
Depois calculo
e igualo a
:
o que dá
. Integrando em
vem
(constante absorvida depois). Portanto
Passo 4
A solução geral implícita é
, ou seja
Agora uso a condição inicial
:
logo
.
Resposta
A solução implícita do PVI é