Dada a equação diferencial
y^prime=e^x-y
Mostre que a função encontrada em (b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

Temos a EDO y'=e^x-y e a solução proposta na parte (b), que é y(x)=lnl(e^x + Cr). Para verificar, precisamos calcular y' e comparar com e^x-y.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y(x)=lnl(e^x + Cr). Usando a regra da cadeia temos
y'=1e^x + Ccdotddx(e^x + C)=1e^x + Ccdot e^x=e^xe^x + C

Passo 3

Agora, vamos calcular o lado direito da EDO substituindo a solução em e^x-y:
e^x-y=e^x-ln(e^x + C)=e^x,e^-ln(e^x + C)=e^xcdot1e^x + C=e^xe^x + C

Passo 4

Como ambos os lados ficam iguais, isto é,
y'=e^xe^x + C=e^x-y,
concluímos que a função y(x)=ln(e^x + C) satisfaz a EDO proposta.

Resposta

A verificação mostra que y'=e^x-y, logo y(x)=ln(e^x + C) é solução da EDO.

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