Dado o problema de valor inicial
Determine um intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
O enunciado pede para analisar o PVI
, que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs, que exige que a EDO esteja em forma normal
com
contínua e Lipschitz em
num retângulo contendo
.
Passo 2
Primeiro, dividimos toda a equação por
(desde que
) para escrever em forma normal:
Dessa forma, podemos identificar
Passo 3
Observamos que
,
e a função constante são contínuas em
, e a divisão por
é válida sempre que
. Além disso,
é linear em
, logo Lipschitz em
em qualquer região onde
não zere.
Passo 4
O ponto inicial é
, onde
. Portanto podemos garantir existência e unicidade da solução em qualquer intervalo que contenha 0 e fique dentro da região onde
, isto é, em
.
Resposta
Um intervalo de existência e unicidade é (-\tfrac{\pi}{2},,\tfrac{\pi}{2}).