Dado o problema de valor inicial
(cos x) y^prime+(sin x) y=3, y(0)=1
Determine um intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O enunciado pede para analisar o PVI (cos x) y'+(sin x) y=3,;y(0)=1, que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs, que exige que a EDO esteja em forma normal y'=f(x,y) com f contínua e Lipschitz em y num retângulo contendo (x0,y0)=(0,1).

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por cos x (desde que cos xneq0) para escrever em forma normal:
y' + tan x;y = 3cos x,
Dessa forma, podemos identificar
f(x,y)=3 - (sin x),ycos x,

Passo 3

Observamos que sin x, cos x e a função constante são contínuas em x, e a divisão por cos x é válida sempre que cos xneq0. Além disso, f(x,y) é linear em y, logo Lipschitz em y em qualquer região onde cos x não zere.

Passo 4

O ponto inicial é x0=0, onde cos0=1neq0. Portanto podemos garantir existência e unicidade da solução em qualquer intervalo que contenha 0 e fique dentro da região onde cos xneq0, isto é, em (-tfracpi2,,tfracpi2).

Resposta

Um intervalo de existência e unicidade é (-\tfrac{\pi}{2},,\tfrac{\pi}{2}).

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