Dada a equação diferencial
:
(2.0) Usando o método dos coeficientes a determinar determine a solução geral da equação diferencial.
(2.0) Usando o método dos coeficientes a determinar determine a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial usando coeficientes a determinar. A equação é
O conteúdo é EDO linear não homogênea e vamos precisar achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular por palpite polinomial.
Passo 2
Para achar a parte homogênea, montamos a equação característica associada:
Resolvendo, obtemos as raízes
Passo 3
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2 (
) e nenhuma raiz zero aparece na característica, fazemos o palpite
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na EDO:
Substituindo em
Reagruparamos em potências de
:
Passo 5
Igualando coeficientes de cada potência de
, obtemos o sistema:
Daí sai
Passo 6
Finalmente, somamos as partes homogênea e particular para obter a solução geral:
Resposta
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-2x} - \tfrac14 x^2 + \tfrac18 x - \tfrac{3}{32}