Dada a equação diferencial y^prime prime-2 y^prime-8 y=2 x^2 :
(2.0) Usando o método dos coeficientes a determinar determine a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial usando coeficientes a determinar. A equação é
y'' - 2y' - 8y = 2x^2
O conteúdo é EDO linear não homogênea e vamos precisar achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular por palpite polinomial.

Passo 2

Para achar a parte homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 - 2r - 8 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r=4 e r=-2. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2 ( 2x^2) e nenhuma raiz zero aparece na característica, fazemos o palpite
yp(x) = Ax^2 + Bx + C

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp e substituímos na EDO:
yp' = 2Ax + B,
yp'' = 2A
Substituindo em y'' - 2y' - 8y:
2A - 2(2Ax + B) - 8(Ax^2 + Bx + C) = 2x^2
Reagruparamos em potências de x:
-8A x^2 + (-4A -8B)x + (2A -2B -8C) = 2x^2 + 0x + 0

Passo 5

Igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema:
-8A = 2, -4A -8B = 0, 2A -2B -8C = 0
Daí sai
A = -tfrac14,
B = tfrac18,
C = -tfrac332

Passo 6

Finalmente, somamos as partes homogênea e particular para obter a solução geral:
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x - tfrac14 x^2 + tfrac18 x - tfrac332

Resposta

y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-2x} - \tfrac14 x^2 + \tfrac18 x - \tfrac{3}{32}

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