(2.0) Resolva a equação diferencial (1-x) y^prime prime+y=0 em série de potências escrevendo os cinco primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO (1–x)y’’+y=0 por série de potências em torno de x₀=0, obtendo as cinco primeiras parcelas não nulas de cada solução e o intervalo de validade.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=sumn=0^infty an x^n. Então
  • y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
    Substituindo em (1-x)y''+y=0 obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n - sumn=1^infty n(n+1)an+1x^n + sumn=0^infty anx^n =0

Passo 3

Igualando coeficientes de x^n:
  • Para n=0: 2a2 + a0=0 a2=-a0/2
  • Para n>=1:
(n+2)(n+1)an+2 + an - n(n+1)an+1=0 Longrightarrow an+2=n(n+1)an+1-an(n+2)(n+1)

Passo 4

Usando a recorrência calculamos os primeiros coeficientes:
a2=-a02, a3=-a0+a16, a4=-a112-a024,

Passo 5

a5=-a124-a060, a6=-a140-7a0720

Passo 6

Tomando (i) a0=1,,a1=0 obtemos a 1.ª solução com cinco termos não nulos e (ii) a0=0,,a1=1 obtemos a 2.ª solução.
A região de convergência é limitada pela singularidade em x=1, logo o raio é 1, isto é, vale para (|x|<1."

Resposta

As duas soluções independentes em série são:
y1 = 1 - x^22 - x^36 - x^424 - x^560 + cdots
y2 = x - x^36 - x^412 - x^524 - x^640 + cdots
O intervalo de validade (centro em 0) é |x|<1.

Exercícios relacionados