(2.0) Resolva a equação diferencial
em série de potências escrevendo os cinco primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO (1–x)y’’+y=0 por série de potências em torno de x₀=0, obtendo as cinco primeiras parcelas não nulas de cada solução e o intervalo de validade.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Então
-
Substituindo emobtemos
Passo 3
Igualando coeficientes de
:
- Para
: ⇒ - Para
:
Passo 4
Usando a recorrência calculamos os primeiros coeficientes:
Passo 5
Passo 6
Tomando (i)
obtemos a 1.ª solução com cinco termos não nulos e (ii)
obtemos a 2.ª solução.
A região de convergência é limitada pela singularidade em , logo o raio é 1, isto é, vale para (|x|<1."
A região de convergência é limitada pela singularidade em
Resposta
As duas soluções independentes em série são:
O intervalo de validade (centro em 0) é |x|<1.