Questão 1. (1,5 ponto) Marque as afirmações corretas, justificando sua resposta. Obs.: Uma resposta errada elimina uma correta, na correção.
a) A equação
é EDO linear.
b) A equação
é EDO separávèl. SIM
c) Um equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
SIM
d) Toda E.D.O linear homogênea de primeira ordem é separável.
SIM
e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
SIM
a) A equação
b) A equação
c) Um equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
SIM
d) Toda E.D.O linear homogênea de primeira ordem é separável.
SIM
e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
SIM
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão de equações diferenciais. O enunciado pede para marcar quais das afirmações sobre EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) estão corretas e justificar cada resposta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são EDOs lineares, separáveis, exatas e homogêneas. Vamos analisar cada item um por um.
Passo 2
a) A equação
é EDO linear.
Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma
, onde
e
são funções de
. Na nossa equação, temos
, o que pode ser reescrito como
. Aqui, o termo envolvendo
é
, que não é linear (pois tem
elevada ao quadrado). Portanto, essa equação não é linear.
Passo 3
b) A equação
é EDO separável.
Uma EDO é separável se conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos rearranjar:
Agora, temos as variáveis separadas. Isso mostra que a equação é separável.
Passo 4
c) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
Já vimos que a linearidade e a separabilidade são propriedades distintas. Embora algumas EDOs possam ser tanto lineares quanto separáveis, isso não é a regra geral. No caso específico da equação
, vimos que ela não é linear, mas é separável. Porém, existem outras equações que são ambas. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) Toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável.
Uma EDO linear homogênea de primeira ordem tem a forma
. Para verificar se é separável, podemos rearranjar para:
Agora, podemos separar as variáveis:
Como conseguimos separar
e
, toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
Uma EDO ser exata significa que ela pode ser derivada de uma função potencial
. Se uma equação for linear e separável, ela pode também ser exata, dependendo das funções envolvidas. Por exemplo, a equação:
se for separável e linear, pode também ser exata sob certas condições. Portanto, é possível que uma equação diferencial seja simultaneamente exata, separável e linear. A afirmação é verdadeira.
Resposta
As afirmações corretas são:
- b) A equação
é EDO separável. - c) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
- d) Toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável.
- e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
Apenas a afirmação a) está incorreta.