Questão 1. (1,5 ponto) Marque as afirmações corretas, justificando sua resposta. Obs.: Uma resposta errada elimina uma correta, na correção.
a) A equação d y / d x=-y^2 é EDO linear. N widetildeA O
b) A equação d y / d x=-y^2 é EDO separávèl. SIM
c) Um equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
SIM
d) Toda E.D.O linear homogênea de primeira ordem é separável.
SIM
e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
SIM

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão de equações diferenciais. O enunciado pede para marcar quais das afirmações sobre EDOs (Equações Diferenciais Ordinárias) estão corretas e justificar cada resposta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são EDOs lineares, separáveis, exatas e homogêneas. Vamos analisar cada item um por um.

Passo 2

a) A equação dydx = -y^2 é EDO linear.
Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma dydx + P(x)y = Q(x), onde P(x) e Q(x) são funções de x. Na nossa equação, temos dydx = -y^2, o que pode ser reescrito como dydx + y^2 = 0. Aqui, o termo envolvendo y é y^2, que não é linear (pois tem y elevada ao quadrado). Portanto, essa equação não é linear.

Passo 3

b) A equação dydx = -y^2 é EDO separável.
Uma EDO é separável se conseguimos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação. Vamos rearranjar:
dydx = -y^2 implies dyy^2 = -dx
Agora, temos as variáveis separadas. Isso mostra que a equação é separável.

Passo 4

c) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
Já vimos que a linearidade e a separabilidade são propriedades distintas. Embora algumas EDOs possam ser tanto lineares quanto separáveis, isso não é a regra geral. No caso específico da equação dydx = -y^2, vimos que ela não é linear, mas é separável. Porém, existem outras equações que são ambas. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) Toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável.
Uma EDO linear homogênea de primeira ordem tem a forma dydx + P(x)y = 0. Para verificar se é separável, podemos rearranjar para:
dydx = -P(x)y
Agora, podemos separar as variáveis:
dyy = -P(x)dx
Como conseguimos separar y e x, toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
Uma EDO ser exata significa que ela pode ser derivada de uma função potencial F(x,y). Se uma equação for linear e separável, ela pode também ser exata, dependendo das funções envolvidas. Por exemplo, a equação:
dydx + P(x)y = Q(x)
se for separável e linear, pode também ser exata sob certas condições. Portanto, é possível que uma equação diferencial seja simultaneamente exata, separável e linear. A afirmação é verdadeira.

Resposta

As afirmações corretas são:
  • b) A equação dydx = -y^2 é EDO separável.
  • c) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente linear e separável.
  • d) Toda EDO linear homogênea de primeira ordem é separável.
  • e) Uma equação diferencial pode ser simultaneamente exata, separável e linear.
Apenas a afirmação a) está incorreta.

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