Questão 2. (3,0 pontos) Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral da Equação Diferencial Ordinária
. Estamos trabalhando com equações diferenciais e vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação, onde a equação está na forma
. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Calculando:
Como
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator integrante
. A condição para
ser um fator integrante é:
Substituindo os valores:
Percebe-se que depende de
, então tentar
seria mais complicado. Então, vamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Observe que isso é uma equação de Bernoulli, que tem a forma:
Aqui, podemos rearranjar para:
Com
Passo 6
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Então:
Derivando ambos os lados em relação a
Passo 7
Substituindo
na equação original:
Agora temos uma equação linear em
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Fazendo a substituição
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolando
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde