Questão 2. (3,0 pontos) Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
4 x y^2 d x+(x^2+1) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral da Equação Diferencial Ordinária 4xy^2 dx + (x^2 + 1) dy = 0. Estamos trabalhando com equações diferenciais e vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na equação, onde a equação está na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Aqui, temos:
M(x, y) = 4xy^2
N(x, y) = x^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x. Calculando:
partial Mpartial y = 8xy
partial Npartial x = 2x
Como 8xy neq 2x, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y. Vamos tentar um fator integrante mu(x). A condição para mu(x) ser um fator integrante é:
dmudx = mu ( partial Mpartial y - partial Npartial xN )
Substituindo os valores:
dmudx = mu ( 8xy - 2xx^2 + 1 ) = mu ( 2x(4y - 1)x^2 + 1 )
Percebe-se que depende de y, então tentar mu(y) seria mais complicado. Então, vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
dydx = -4xy^2x^2 + 1
Observe que isso é uma equação de Bernoulli, que tem a forma:
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
Aqui, podemos rearranjar para:
dydx + 4xx^2 + 1 y^2 = 0
Com n = 2, o que confirma que é uma equação de Bernoulli.

Passo 6

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição v = y^1 - n = y^-1. Então:
v = 1y
Derivando ambos os lados em relação a x:
dvdx = -1y^2 dydx

Passo 7

Substituindo dydx na equação original:
dvdx = -1y^2 ( -4xy^2x^2 + 1 ) = 4xx^2 + 1
Agora temos uma equação linear em v:
dvdx = 4xx^2 + 1

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados para encontrar v:
v = integral 4xx^2 + 1 dx
Fazendo a substituição u = x^2 + 1, du = 2x dx, então:
v = 2 ln|x^2 + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que v = 1y, substituímos de volta:
1y = 2 ln(x^2 + 1) + C
Finalmente, isolando y:
y = 12 ln(x^2 + 1) + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12 ln(x^2 + 1) + C
Onde C é a constante de integração.

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