Dada a equação dimensionalmente homogênea:
A=B C e^AR+E
onde B é a pressão, C é a quantidade de movimento, e e é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas A, B e E em relação ao SI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação que precisa ser homogênea dimensionalmente:
A = B C e^AR + E
Aqui, sabemos que:
  • $ B $ é a pressão
  • $ C $ é a quantidade de movimento (também conhecida como momento)
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (número de Euler)
Nosso objetivo é descobrir quais são as dimensões das grandezas $ A $, $ B $ e $ E $ no Sistema Internacional de Unidades (SI). Para isso, vamos usar o conceito de homogeneidade dimensional, que nos diz que ambos os lados da equação devem ter as mesmas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões de $ B $ e $ C $:
  • Pressão ($ B $): A pressão é força por unidade de área. No SI, a unidade é Pascal (Pa), e suas dimensões são:
    B
    onde:
    • $ M $ é a massa
    • $ L $ é o comprimento
    • $ T $ é o tempo
  • Quantidade de movimento ($ C $): Também conhecida como momento, é produto de massa e velocidade. No SI, a unidade é kg·m/s, e suas dimensões são:
    C

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo $ B C $ na equação:
Multiplicando as dimensões de $ B $ e $ C $:
B C
Então, as dimensões de $ B C $ são $ M^2 T^{-3} $.

Passo 4

Observando a equação original:
A = B C e^AR + E
Para que a equação seja homogênea dimensionalmente, cada termo do lado direito deve ter as mesmas dimensões que o termo do lado esquerdo ($ A $).
Primeiro, consideramos o termo $ B C e^{AR} $. Sabemos que $ e^{AR} $ deve ser adimensional, porque o expoente de $ e $ sempre precisa ser sem dimensão. Portanto:
A
Isso nos indica que as dimensões de $ A $ são o inverso das dimensões de $ R $. Contudo, como $ R $ não foi especificado no enunciado, focamos nas dimensões de $ A $ através do termo $ B C $.

Passo 5

Como o termo $ E $ também está somado a $ B C e^{AR} $, suas dimensões devem ser iguais às de $ A $:
E
B C e^AR

Resposta

As dimensões das grandezas são:
[A] = M^2T^-3, [B] = ML T^2, [E] = M^2T^-3

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