Dada a equação dimensionalmente homogênea:
onde
é a pressão,
é a quantidade de movimento, e
é a base dos logaritmos neperianos, determinar as dimensões das grandezas
,
e
em relação ao SI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação que precisa ser homogênea dimensionalmente:
Aqui, sabemos que:
- $ B $ é a pressão
- $ C $ é a quantidade de movimento (também conhecida como momento)
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (número de Euler)
Nosso objetivo é descobrir quais são as dimensões das grandezas $ A $, $ B $ e $ E $ no Sistema Internacional de Unidades (SI). Para isso, vamos usar o conceito de homogeneidade dimensional, que nos diz que ambos os lados da equação devem ter as mesmas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões de $ B $ e $ C $:
-
Pressão ($ B $): A pressão é força por unidade de área. No SI, a unidade é Pascal (Pa), e suas dimensões são:onde:
- $ M $ é a massa
- $ L $ é o comprimento
- $ T $ é o tempo
-
Quantidade de movimento ($ C $): Também conhecida como momento, é produto de massa e velocidade. No SI, a unidade é kg·m/s, e suas dimensões são:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo $ B C $ na equação:
Multiplicando as dimensões de $ B $ e $ C $:
Então, as dimensões de $ B C $ são $ M^2 T^{-3} $.
Passo 4
Observando a equação original:
Para que a equação seja homogênea dimensionalmente, cada termo do lado direito deve ter as mesmas dimensões que o termo do lado esquerdo ($ A $).
Primeiro, consideramos o termo $ B C e^{AR} $. Sabemos que $ e^{AR} $ deve ser adimensional, porque o expoente de $ e $ sempre precisa ser sem dimensão. Portanto:
Isso nos indica que as dimensões de $ A $ são o inverso das dimensões de $ R $. Contudo, como $ R $ não foi especificado no enunciado, focamos nas dimensões de $ A $ através do termo $ B C $.
Passo 5
Como o termo $ E $ também está somado a $ B C e^{AR} $, suas dimensões devem ser iguais às de $ A $:
Resposta
As dimensões das grandezas são: